後退確率微分方程式とその応用について

关于后向随机微分方程及其应用

基本信息

批准号：
14J05827
负责人：
泉優行
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2014
资助国家：
日本
起止时间：
2014-04-25 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

最終時刻における条件を持つ確率微分方程式である、後退確率微分方程式の解について研究を行った。本研究では、線型増大度を持つジェネレーターを持つ2次元以上の後退確率微分方程式の解の存在について研究を行った。線型増大度を持つ関数であるジェネレーターをリプシッツ連続な関数で近似する方法で解の近似列を構成し、その収束を示す方針のもと研究を行った。（１）次元ごとに解の収束を示すことを目指し、すでに知られている1次元の場合と同様に示すこと、（２）解の近似列が有界であり、弱収束するということを用いて強収束先が解であることを示す、（３）近似列の平均の強収束先が解であることを示す、の3つのアプローチにより考察を行った。その結果、強収束先がある後退確率微分方程式の解になるということを示すことができた。この成果により、この新たに得られた後退確率微分方程式を調べることにより、最初の後退確率微分方程式の解への足掛かりとなる可能性を得た。一方、弱い解の意味での解の存在については、同種の先行研究から、いくつかのアイデア・アプローチ法を得ることができ、今後これらをヒントに弱い解の存在に関する知見を得られることが期待される。また、後退確率微分方程式の解Zのマリアバン微分DZが有界であるという条件のもと、この方程式の解がマリアバンの意味で無限階微分可能であることを前年度において証明したが、これに関する具体例を構成した。これは先述の事実を補強する重要な成果である。

我们研究了后向随机微分方程的解，即最终时刻有条件的随机微分方程。在这项研究中，我们研究了二维或更多维的后向随机微分方程解的存在性，这些方程的生成元具有线性递增的次数。我们通过利用 Lipschitz 连续函数逼近生成器（线性递增函数）来构造解的近似序列，并进行研究以证明其收敛性。 (1) 旨在显示每个维度解的收敛性，与已知的一维情况相同； (2) 利用解的近似序列有界且弱收敛的事实。近似序列的平均值的强收敛终点就是解。结果，我们能够证明向后随机微分方程存在一个具有强收敛目标的解。由于这个结果，我们获得了这样的可能性：通过研究这个新获得的向后随机微分方程，我们可以成为求解第一个向后随机微分方程的垫脚石。另一方面，关于弱解意义上的解的存在性，我们已经从之前类似的研究中获得了一些想法和方法，希望将来能够用这些作为提示。获取有关弱解存在性的知识。另外，在向后随机微分方程的解Z的马里亚班微分DZ有界的条件下，我们在前一年证明了该方程的解在马里亚班意义上是无限可微的，并构造了一个具体的例子。这是强化上述事实的重要结果。