力学系のゼータ関数とその数論的力学系への応用

动力系统的Zeta函数及其在算术动力系统中的应用

• 批准号: 22KJ0286
• 负责人: 竹平 航平
• 金额: $ 1.54万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ0286/
• 关键词: 数論的力学系; ゼータ関数; 高さ関数; multiplier; 高さゼータ関数

今年度は下記の研究を行った。(1)射影直線上の力学系における、multiplierの母関数として定義されるゼータ関数の極、零点の挙動の研究：特別研究員採用前までの研究において、multiplierと呼ばれる力学系の局所的挙動を反映する不変量の母関数として定義されるゼータ関数が、ある線形写像の固有多項式を用いて表示できることを、十分一般の仮定のもとで示していた。この線形写像は、射影直線上の1次微分形式のなす層のテンソル冪のコホモロジー群に、力学系を定める写像から誘導されるものであり、特定の場合には、詳細な明示計算が可能である。そこで、今年度はそのような線形写像の明示計算を行い、ゼータ関数の極、零点に対応する固有値の挙動の研究を行ない、力学系のパラメータを増大させた場合における最大固有値の漸近挙動を明らかにした。(2)力学系の高さゼータ関数に対する研究：数論的力学系において、Call-Silvermanによるdynamical canonical heightと呼ばれる、ある種の高さ関数が知られている。Hsia(1997)は、このdynamical canonical heightに関する一般化Dirichlet級数として定義される、力学的高さゼータ関数について、力学系が函数体上で定義され、かつ、力学系の挙動が穏やかな場合にゼータ関数の複素平面上への有理型接続や、ゼータ関数の代数性を証明した。本年度の研究では、このゼータ関数の主要項と考えられる、あるアデール上の積分で定義される関数について、Hsiaの仮定が成立しないある力学系の族を用いて明示的に計算し、解析接続を示した。また、この明示計算には、超越数論で活発に研究される、Mahlerの関数方程式を満たす部分があり、超越数論との関連性も期待される。

今年，我们进行了以下研究：（1）研究Zeta功能的杆子和零的行为，定义为在投射线上机械系统中乘数的源函数：在募集特殊研究人员之前的研究中，它在特殊研究人员的招募前表明，在充分的一般性假设下，Zeta的函数使用了一种ZETA的函数，该函数使用了一种无效的能力，可以反映出乘积的机能，即乘坐的机制，机制的机制，某个线性图的本本元素。该线性映射源自将动态系统定义为投影线上第一个差分形式的层量量的映射，在某些情况下，可以进行详细的显式计算。因此，今年我们对此类线性映射进行了明确的计算，并研究了与ZETA函数的极点和零相对应的特征值的行为，并揭示了当机械系统的参数增加时最大特征值的渐近行为。 （2）研究机械系统的高度ZETA函数：在数值动力学系统中，已知称为“动态规范高度”的一定高度函数。 HSIA（1997）证明了Zeta函数在复杂平面上的合理联系，该函数定义为该动态规范高度的广义dirichlet系列，并且当机械系统在函数上定义机械系统并且机械系统行为时，Zeta函数的代数函数的代数性。在今年的研究中，使用Adele的积分定义的功能被认为是该ZETA函数的主要项，是使用未达到HSIA假设的动态系统系列明确计算出来的，并提出了分析连接。此外，这种显式计算具有满足Mahler功能方程的一部分，该方程在先验理论中被积极研究，并有望与先验理论有联系。

项目成果

射影直線上の力学系に付随するゼータ関数について

关于附加到射影线上动力系统的 zeta 函数

• 发表时间: 2022
• 期刊: RIMS講究録
• 作者: Yuki Yamamoto;Hideyuki Kawasoko;Tomoteru Fukumura;竹平航平
• 通讯作者: 竹平航平

Connecting number theory and discrete dynamical systems via zeta functions

通过 zeta 函数连接数论和离散动力系统

• 发表时间: 2023
• 作者: Yuki Yamamoto;Hideyuki Kawasoko;Tomoteru Fukumura;竹平航平;竹平航平
• 通讯作者: 竹平航平

力学系に付随したゼータ関数の研究

与动力系统相关的 zeta 函数研究

• 发表时间: 2023
• 作者: Yuki Yamamoto;Hideyuki Kawasoko;Tomoteru Fukumura;竹平航平;竹平航平;竹平航平
• 通讯作者: 竹平航平