局所体の代数的K理論と球面の安定ホモトピー群の構造の研究

局域场代数K理论与球面稳定同伦群结构的研究

基本信息

批准号：
12J00204
负责人：
加藤諒
金额：
$ 1.15万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2012
资助国家：
日本
起止时间：
2012 至 2013
项目状态：
已结题

项目摘要

スペクトラムの圏を代数的に解釈する視点が本研究の主幹であり、特にその圏をBousfield局所化した状況の性質を見ることは1つの重要なステップとなる。本研究では、主にスペクトラムのホモトピー群、及び局所化した圏のBousfield束、Picard群といったものの解析を軸に置いてきた。スペクトラムのホモトピー群で最重要なものは球面スペクトラムのホモトピー群、即ち球面の安定ホモトピー群であるが、これについて、研究代表者は高知大学の下村克己氏との共同研究により、彩色レベル2の情報に関係するβ元と呼ばれるものについて新しい元の存在を示し、さらにそれと既に存在が知られている元との積を考えることにより無限の新しい非自明元を構成した。特に、Adams-Novikovフィルトレーションが5,6,8という高い部分から無限の非自明元が生き残っているということが読み取れる点が極めて興味深いと思われる。また、同じく高知大学の下村克己氏との共同研究により、Miller-Ravenel-Wilsonによる彩色手法のアイデアに基づき、新しい彩色スペクトル系列のE_1項の構造を決定し、その応用としてSmith-TodaスペクトラムV(2)のホモトピー群での非自明元を新しく無限個発見した。Bousfleld束の研究については、その概念を適当な圏の間の関手として再構成、および一般化し、この視点から従来の問題を見直した。特に、高知大学の下村克己氏と立原有太郎氏との共同研究により、レトラクト予想と呼ばれる1つの重要な問題をこの考えを元に一般化し、それが成立する為の適当な条件を与えた。その応用として、調和スペクトラムによりBousfield局所化されたスペクトラムの圏のBousfield束の構造の完全な決定と、レトラクト予想の成立を示した。Picard群については、高知大学の下村克己氏と川元祐奈氏との共同研究により上谷-下村により与えられていたJohnson-WilsonスペクトラムE(n)により局所化された圏のPicard群とE(n)-based AdamsE_2項との関係性の類似を、Morava K理論スペクトラムK(n)により局所化された圏のPicard群との間で与えた。さらに、「特別な可逆スペクトラム」という概念を定義し、これらがPicard群の構造の本質の一部をまかなうと信ずるに足る事実を与え、「全ての球面でないE(n)-可逆スペグトラムは特別である」という予想を提示した。

这项研究的核心是谱范畴的代数解释，其中重要的一步是考察该范畴被布斯菲尔德定域的情况的本质。在这项研究中，我们主要关注谱的同伦群、局域类别的布斯菲尔德丛和皮卡德群的分析。光谱中最重要的同伦群是球光谱的同伦群，即球面的稳定同伦群。主要研究者与高知大学的Katsumi Shimomura合作，获得了这方面的着色级别2信息他证明了与相关的称为 β 元素的新元素的存在，并通过考虑该元素与已知存在的元素的乘积进一步构造了无数个新的非平凡元素。特别是，非常有趣的是，我们可以看到在 Adams-Novikov 过滤较高的部分（5、6 和 8）中存在无限的非平凡元素。此外，通过与高知大学Katsumi Shimomura的联合研究，我们基于Miller-Ravenel-Wilson着色法的思想，确定了新的彩色光谱级数E_1项的结构，并将其应用于Smith -Toda 谱 V（我们在 2 的同伦群中发现了无数个新的非平凡元素）。关于布斯菲尔德丛的研究，我们将这个概念重构并推广为适当范畴之间的函子，并从这个角度重新考虑常规问题。特别是，通过与高知大学的Katsumi Shimomura和Yutaro Tachihara的联合研究，我们基于这个想法概括了一个重要的问题，即撤回猜想，并为其成立提供了适当的条件。作为其应用，我们通过调和谱完全确定了布斯菲尔德定域谱范畴中布斯菲尔德丛的结构，并证明了撤消猜想成立。关于Picard群，Picard群和基于E(n)的AdamsE_2项以及由Morava K理论谱K(n)定域的类别的Picard群。此外，他定义了“特殊可逆光谱”的概念，并提供了足够的证据来相信这些涵盖了皮卡德群结构本质的一部分，指出“所有非球面 E(n)-可逆光谱”他提出了“有”的预测。