Comprehensive study of various geometries with harmonic maps to symmetric spaces as a core

以对称空间调和映射为核心的各种几何学的综合研究

• 批准号: 22K03304
• 负责人: 小林 真平
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03304/
• 关键词: ガウス写像; 調和写像; ハイゼンベルグ群; 多次元正規分布; 測地線; 可積分曲面

２０２２年度は，４本の論文を仕上げ国際誌に投稿し，その内１本は受理された．各論文はそれぞれ，位相的に円柱面となるハイゼンベルグ群内の極小曲面，ハイゼンベルグ群内の空間的極小曲面の構成法とその特異点，多次元正規分布の測地線と可積分系との関係，及び多次元正規分布のアルファ接続の特徴づけについての論文である．前者２本については，２次元空間形へのガウス写像の調和性が鍵となっている．特に，受理された論文である位相的に円柱面である極小曲面は，２つの平面曲線とその符号付き面積を用いて，この種の極小曲面を完全に特徴づける結果であり，重要な成果と考えている．後者２本の論文のテーマは，確率分布がなす統計多様体の重要な例である多次元正規分布に関する研究成果である．アルファ接続は，甘利とChentsovによって導入された統計多様体に自然に定まる捩れがない接続であり，情報幾何学において重要な研究対象である．研究成果として，多次元正規分布に対して，アルファ接続を共役対称性を用いて特徴づけをし，論文に纏め，国際誌に投稿中である．また，別の研究成果として，Eriksenによって得られた多次元正規分布のフィッシャー計量に関する測地線を，リーマン沈め込みを用いて自然に解釈できることを示した．また，測地線を求めるアルゴリズム，付随する戸田型のLax形式を求めた．これらの結果を論文に纏め，国際誌に投稿中である．さらに，パラ複素射影空間の部分多様体に関して，ループ群を交えた一般論をJ.F.Dorfmesiter氏，R.Hildebrand氏構築し，現在論文に纏めている途中である．

2022年，我完成了四篇论文并提交给国际期刊，其中一篇被接受。每篇论文都重点讨论了海森堡群中的极小曲面（拓扑柱面）、海森堡群中空间极小曲面的构造方法及其奇异性、多维正态分布测地线与可积系统之间的关系，这是一篇关于多维正态分布的 alpha 连接表征的论文。对于前两者，关键是高斯映射与二维空间形式的调和性。特别是，关于拓扑圆柱的最小曲面的已接受论文是使用两条平面曲线及其符号面积完全表征此类最小曲面的结果，我认为这是一个重要的结果。后两篇论文的主题是多维正态分布的研究成果，多维正态分布是概率分布形成的统计多样性的一个重要例子。 Alpha连接是阿玛里和琴佐夫引入的统计变体中自然定义的无扭转连接，是信息几何中的重要研究目标。作为我的研究成果，我使用多维正态分布的共轭对称性来表征 alpha 连接，并将其编译成一篇论文，目前正在将其提交给一家国际期刊。此外，作为另一项研究成果，我们表明，Eriksen 获得的多维正态分布的 Fisher 度量的测地线可以使用黎曼俯冲来自然地解释。我们还计算了计算测地线的算法以及随附的 Toda 型 Lax 格式。我们已将这些结果汇编成一篇论文，目前正在将其提交给一家国际期刊。此外，J.F. Dorfmesiter 和 R. Hildebrand 开发了包括环群在内的副复射影空间子流形的一般理论，目前正在将其编译成论文。