3次元アノソフ流の手術にかかわる幾何学

3D Anosoff 式手术中涉及的几何形状

• 批准号: 22K03302
• 负责人: 浅岡 正幸
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: Doshisha University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03302/
• 关键词: 双曲力学系; アノソフ流; 低次元トポロジー; 接触幾何学

本研究の出発点となった位相推移的な3次元アノソフ流がすべての境界における傾きが正であるようなBirkhoff切断を持つときにはR-coveredになるという結果が，Bonatti，Martyによって同時期に独立に示されていたことが判明したため，彼らの手法と合わせて共著論文という形でまとめ上げた．論文をまとめ上げる過程においてMartyと互いの手法について情報交換をすることでBirkhoff切断に関して新しい知見を得ることが出来た．この結果を踏まえて，R-coveredな3次元アノソフ流は接触アノソフ流と位相同値であろうというBarbot-Barthelmeの予想の証明にも挑み，有望と思えるアプローチを見つけたが，2023年1月にMartyが予想の肯定的な解決をアナウンスしたため，その後はMartyによるプレプリントの解析を行い，結果の検証とそこで使われている手法の理解に努めた．また，位相推移的な3次元アノソフ流はGoodman-Fried手術によって代数的なものにすることができるだろうというFriedによる古くからの予想についても研究を行った．その結果，手術によって代数的なものにならないための判定条件をBirkhoff切断と多様体のホモロジーに関する条件として一つ見つけることができた．この条件はBirkhoff切断とその上のモノドロミー写像が記述できれば簡単に確認できるものであり，具体例の候補もいくつかすでに挙がっている．来年度はその具体例に対して計算を行い，この判定条件を当てはめることができるかどうかを確かめたいと考えている．

与此同时，博纳蒂和马蒂发现，作为本研究起点的相变三维阿诺索夫流，当它在所有边界处具有正斜率的伯克霍夫切割时，就会成为 R 覆盖流。这在上一篇论文中已经展示过，我们将其与他们的方法结合在一篇合着的论文中。在撰写论文的过程中，我通过与 Marty 交换有关彼此方法的信息，获得了有关 Birkhoff 切割的新知识。基于这个结果，我们还试图证明Barbot-Barthelme的猜想，即R覆盖的三维阿诺索夫流在拓扑上等价于接触阿诺索夫流，并找到了一种有希望的方法，在Marty宣布对该猜想进行积极的解决后，我们分析了马蒂的预印本，试图验证结果并了解其中使用的方法。我们还研究了弗里德长期以来的猜想，即拓扑三维阿诺索夫流可以通过古德曼-弗里德运算变成代数。结果，我们能够找到伯克霍夫割断和流形同源性的一个标准，以防止运算变成代数运算。如果可以描述 Birkhoff 割及其上方的单峰图，则可以很容易地证实该条件，并且已经提出了几个具体示例。明年我们想通过具体的例子进行计算，看看这个判断条件是否适用。

项目成果

Goodman Fried surgery, Birkhoff sections, and R-covered Anosov flows

Goodman Fried 手术、Birkhoff 切片和 R 覆盖的 Anosov 流

• 发表时间: 2023
• 作者: 坂内 真三;浅岡 正幸
• 通讯作者: 浅岡 正幸

Universite de Bourgogne(フランス)

勃艮第大学（法国）

ArXiv: Oriented Birkhoff sections of Anosov flows

ArXiv：阿诺索夫流的定向 Birkhoff 部分

the Max Plank Institute(ドイツ)

马克斯·普朗克研究所（德国）