Study on the generalized Ramanujan-Nagell equations

广义Ramanujan-Nagell方程的研究

基本信息

批准号：
22K03271
负责人：
寺井伸浩
金额：
$ 2.5万
依托单位：
Oita University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

a,b,c をピタゴラス数, つまり, a＾2 + b＾2 = c＾2 を満たす正の整数とする. このとき, 不定方程式 a＾x+b＾y=c＾z はただ一つの正の整数解 (x,y,z)=(2,2,2) をもつという, 有名なJesmanowicz予想が知られている. この予想の類似として, 一般化されたRamanujan-Nagell方程式 x＾2 + b＾m = c＾n (GRN) が自明な解以外の解(x,m,n) を持つかどうかを考える. (GRN)は, bが奇数の場合はただ一つの正の整数解, bが偶数の場合はある特別な条件を満たす場合を除けばちょうど二つの正の整数解をもつことが予想される. bが奇数の場合は研究代表者が Acta Arith.(1993年)の論文において, いろいろな場合に正しいことを示し, 他の研究者もこれ以降多くの場合に正しいことを確認した. bが偶数の場合はBaker理論等を用いて予想が正しいことをいくつかの条件の下で示し, 2つの論文Publicationes Math. Debrecen 101(2022), Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie 65(2022)を出版できた. これらの話題は「一般化されたRamanujan-Nagell方程式 x^2 + b^m=c^n について」という題目で第14回福岡数論研究集会(於九州大学伊都キャンパス; 2022年8月20日)において講演した.第2回大分数論研究集会(於ホルトホール大分サテライトキャンパス;2023年1月28日-2023年1月29日)を代表世話人として主催した. 不定方程式論, 多重ゼーター関数, 代数的整数論, 解析的整数論に関する素晴らしい講演が行われ, 若い大学院生を含めて多くの出席者があった. 各講演について活発な質疑応答があり, 整数論の研究者と有意義な意見交換ができた.

设a、b、c为毕达哥拉斯数，即满足a＾2 + b＾2 = c＾2的正整数，则不定方程a＾x+b＾y=c＾z只有一个著名的。 Jesmanowicz 猜想被称为具有正整数解 (x,y,z)=(2,2,2)。该猜想的类比是考虑广义 Ramanujan-Nagell 方程 x^2 + b^m = c^n (GRN) 是否具有平凡解 (GRN) 之外的解 (x,m,n) 意味着 b 如果 b 是奇数。，只会有一个正整数解，如果b是偶数，则只有两个正整数解，除非满足某些特殊条件。当b是奇数时，主要研究者在Acta Arith (1993)的一篇论文中表明，它在许多情况下是正确的，并且其他研究人员后来也证实了它在许多情况下是正确的。在这种情况下，我们使用了Baker。理论等证明该猜想在多种条件下是正确的，并发表了两篇论文 Publicationes Math.101(2022), Bull.我们能够发表 Roumanie 65 (2022)，这些主题在第 14 届福冈数论研究会议（九州）上以“关于广义 Ramanujan-Nagell 方程 x^2 + b^m=c^n 大学”为题进行了讨论。伊东校区；（2022年8月20日）作为代表组织者主办了第二届大分式理论研究会议（大分卫星校区Holt Hall；2023年1月28日-2023年1月29日），进行了关于不定方程理论、多重zeter函数的精彩讲座。、代数数论和解析数论，参加者很多，其中包括年轻的研究生。每场讲座都进行了热烈的问答环节，我能够与数论研究人员进行有意义的交流。