Zeta functions associated with discrete systems and its applications

离散系统相关的 Zeta 函数及其应用

基本信息

批准号：
22K03262
负责人：
森田英章
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Muroran Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

有限グラフや（擬）有限力学系、あるいは有限群の作用などの離散的な対象に対して定義されるゼータ函数を研究対象としている。そこでは、定義のあり方に差異はあれども、「指数表示」、「オイラー（積）表示」、「橋本表示」とよばれる「三種の表示」が、等しく観察される。本研究課題では、この「三種の表示」の成立根拠を模索し、それを「組合せ論的ゼータ函数」という枠組みで理解することに成功している。一方、組合せ論的ゼータ函数の原型である「伊原ゼータ函数」には、三種の表示のほかに、「伊原表示」とよばれる四種類目の表示をもつことが、その原論文において知られており、この伊原表示の構成が、その後のグラフゼータ函数の研究において、主題の一つであり続けてきた。伊原以降の展開においても、様々なグラフゼータ函数が定義され、その伊原表示が求められてきた。本研究課題の目的は、これら各論に終始してきたグラフゼータ函数に対する伊原表示の研究を、より一般の枠組みである組合せ論的ゼータ函数に対して、その一般論を与えることにある。さらに底空間としての有限グラフを、一般の有限有向グラフに拡張し、その上で正則被覆や、さらにゼータ函数を越えてアルチン L-函数の分解則の記述を経由して、その後は跡公式による理解を目指す。現在、「一般荷重ゼータ函数」とよばれる組合せ論的ゼータ函数を考察し、その伊原表示の構成を一般の有限有向グラフに対して行うことに成功した。伊原表示の構成には「逆辺」の定義が重要になる。本研究課題では、底空間の有向グラフには重複辺を許容しており、逆辺をいかに定義するかが大きな問題となる。直近の研究結果では、重複辺を許す有向グラフに対して逆辺の一般的定義を与え、その定義のもとに一般荷重ゼータ函数の伊原表示を与えることに成功した。

该研究涉及针对离散对象（例如有限图，（伪）有限动力学系统或有限组效应的离散对象定义的ZETA函数。尽管在定义上有所不同，但“三种类型的显示”称为“索引显示”，“ Euler（product）Display”和“ Hashimoto Display”。在这个研究主题中，我们为建立“三种类型的表示”的基础寻求基础，并在“组合Zeta函数”的框架中成功理解了这一基础。另一方面，IHARA ZETA函数是组合Zeta函数的原型，除了三种类型的显示外，它是一种称为“ Ihara Display”的第四种显示，此Ihara显示的结构继续是后续研究中的主题之一。在Ihara之后的开发中，已经定义了各种图形Zeta函数，并寻求Ihara表示。该研究主题的目的是提供在这些主题中进行的图形ZETA函数的Ihara表示，并在更通用的框架中提供了组合Zeta函数。此外，将有限的图作为基本空间扩展到一般有限的有向图，然后将有限的图通过描述Artin L功能的分解规则（超出Zeta函数），然后目的是使用痕量公式来理解它。现在，我们考虑了一个称为“通用负载Zeta函数”的组合ZETA函数，并在一般有限的有向图上成功构建了其IHARA显示器。构造Ihara显示时，“反向”的定义很重要。在这个研究主题中，在基本空间的定向图中允许重叠边缘，以及如何定义相反的边成为一个主要问题。最新的研究结果成功地给出了对有向图的逆侧的一般定义，该图形允许边缘重叠，并在该定义下给出了一般负载ZETA函数的Ihara表示。