Representation theoretic research on periods of automorphic forms

自同构周期的表示论研究

• 批准号: 22K03228
• 负责人: 池田 保
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03228/
• 关键词: 保型形式; 二次形式; エルミート形式; 保型表現; 保型的L関数; 周期; 保型形式; 二次形式; エルミート形式; 保型表現; 保型的L関数; 周期

1990 年代の初め，Gross とPrasad は特殊直交群の組の上の保型形式の周期に関する一連の予想を提出した．これを精密化して，市野篤史氏（京都大学）と筆者は特殊直交群上の保型形式の周期をある種のＬ函数の値と具体的に関係付ける明示的な周期公式を予想として提出した．これは現在では市野・池田予想として広く知られており，保型形式の周期の理論の一つの大きな目標となっている．このように保型形式の周期が市野・池田型の公式によりL関数の特殊値と結び付けられるには問題の周期が局所的に重複度1の条件を満たすことが必要であると考えられる。局所的にそのような重複度1の条件が成り立つとき、市野・池田型の公式には局所的な因子が現れ、それは局所体上の代数群の表現を実現する特殊関数とも考えられる。本研究ではこのような視点から大域的な周期の研究、局所体上の特殊関数の研究を行っており、とくに退化主系列表現に付随したSiegel級数の挙動を研究している。エルミート形式のSiegel級数はGross-Keating不変量，変形Gross-Keating不変量，および補助的なHasse不変量で決定されると考えられる。エルミート形式にGK三つ組の構成に関しては論文を執筆し、近々投稿する予定である。また、二次形式の拡張GKデータについても、有限体上の交互増大フィルター付きの二次空間対を経由することによりより簡明な構成をすることができたので、これに関する論文を現在執筆中である。このように局所体上の対象であるSiegel級数が有限体上の対象の不変量に還元されることは新しい知見であり興味深い発見であると思う。今年度はコロナ禍により研究集会等に対面で参加することはほとんどできなかったが、主に研究用の書籍を購入することにより研究環境の改善を図った。

在1990年代初期，格罗斯（Gross）和普拉萨德（Prasad）对一组特殊正交群体的保守形式时期提出了一系列预测。通过对此的改进，Ichino Atsushi（京都大学）和作者提出了一个明确的时期公式，该公式专门将特殊正交组的保守形式形式的时期与某些L功能的值联系起来。现在，这被广泛称为Ichino和Ikeda预测，是保存形式形式的周期性理论的主要目标之一。通过这种方式，为了在使用Ichino和ikeda-type公式与L函数的特殊价值链接的过程中，考虑到问题的期限必须在本地满足重叠的条件。当在本地持有重叠的条件时，在本地持有的条件是在本地持有的，也可以在此处出现在ICHINO-IKICEA-IKEDA-IKEDA-IKEDEPE的函数中，即在ICHINO-IKEDA-IKEDEPE中，该函数也可以是A.本地领域的代数组。这项研究基于这一观点，研究了本地领域的全球时期和特殊功能，并且特别研究了与退化的主序列表示相关的Siegel系列的行为。赫尔米尼亚形式的Siegel系列被认为是由成熟的不变式，改良的大型不变式和辅助Hasse Inforvariants确定的。我已经写了一篇有关Hermitian格式的GK三合会结构的论文，并将很快发布。此外，由于二次格式扩展GK数据可以通过通过一个二次空间对而更简单地构建，并在有限字段上交替增加过滤器，因此我目前正在为此撰写一篇论文。我认为这个新发现和有趣的发现是，Siegel系列是本地字段上的对象，将其简化为有限字段上对象的不变。由于19日的大流行，今年我们几乎无法面对面参加研究会议，但我们试图通过购买主要用于研究的书籍来改善研究环境。