偏曲代数多様体におけるセシャドリ定数の研究

极化代数簇中Seshadri常数的研究

基本信息

批准号：
11J56182
负责人：
伊藤敦
金额：
$ 0.45万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2012
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11J56182/
关键词：
セシャドリ定数トーリック多様体トーリック退化

项目摘要

本年度得られた研究結果は主に以下の3つである。1.偏曲トーリック多様体のセシセドリ定数は常に1以上であることはよく知られている。従っていつセシャドリ定数が1になるかを考えることは非常に自然である。本研究では、まずケーリー多面体と呼ばれるある性質を持った多面体の代数幾何的な特徴づけを与えた。その特徴付けを用いることで偏曲トーリック多様体のセシャドリ定数が1である必要十分条件を、対応する多面体の言葉で簡単な記述することができた。この結果は組合せ論の視点から見ても有用と思われる。2.偏曲代数多様体から定まるオコンコフ体は、偏曲多様体の体積などの情報を含んでいることが知られているが、本研究ではオコンコフ体がセシャドリ定数の下界を与えることを示した。一般にセシャドリ定数を下から評価することは非常に困難である。この結果は、セシャドリ定数の下界に関する予想などを示すのに役立つことが期待される。3.射影空間内の超曲面(より一般に完全交差)やピカール数が1である滑らかな3次元ファノ多様体に対し、トーリック退化を用いることでセシャドリ定数を具体的に評価、計算した。これまで高次元(3次元以上)におけるセシャドリ定数の具体的な計算例は極めて少なく、この結果は非常に興味深いと言える。また同様の手法を他の多様体におけるセシャドリ定数の計算に適用することも期待できる。これらの結果はそれぞれ論文にまとめ、現在投稿中である。

今年取得的研究成果主要有以下三项。 1. 众所周知，偏振复曲面流形的Sessedri常数总是大于或等于1。因此，很自然地要考虑Seshadri常数何时变为1。在这项研究中，我们首先给出了具有某些属性的多面体的代数几何特征，称为凯莱多面体。利用这个表征，我们能够轻松地用相应的多面体来描述弯曲复曲面流形的 Seshadri 常数为 1 的充分必要条件。从组合学的角度来看，这个结果似乎很有用。 2. 众所周知，由极化代数簇确定的奥康科夫场包含极化流形的体积等信息，但在本研究中我们表明奥康科夫场提供了 Seshadri 常数的下界。一般来说，从下面评估 Seshadri 常数是非常困难的。该结果有望有助于显示有关 Seshadri 常数下限的猜想。 3. 我们使用射影空间中的超曲面（更一般地说，完美交集）和皮卡德数为 1 的光滑三维 Fano 流形，专门评估和计算了 Seshadri 常数。到目前为止，高维（三维以上）Seshadri常数的具体计算例子还很少，这个结果可以说非常有趣。还期望类似的方法可以应用于其他流形的 Seshadri 常数的计算。这些结果已总结在一篇论文中，目前正在提交。