トロピカル幾何の構造調査によるミラー対称性の研究

通过热带几何结构研究镜像对称性

• 批准号: 18J21511
• 负责人: 鷲見 拳
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-25 至 2021-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-18J21511/
• 关键词: トロピカル幾何; トロピカルトーリック多様体; リーマンロッホ; リーマン・ロッホ; tropical geometry; Riemann-Roch; tropical abelian variety; theta function

本年度は、一般次元のトロピカル多様体上の因子の階数と、因子に対応した線束の正則切断全体がなすトロピカル加群との関係を調べた。その結果を応用して、トロピカルトーリック曲面に対するリーマン・ロッホの不等式を得た。また新たな研究のアプローチの着想もいくつか得られた。因子の階数の定義は古典的な場合と異なっており、正則切断全体がなすトロピカル加群からはただちには計算ができないものになっている。因子の階数が計算できたトロピカルアーベル多様体に対する研究から着想を得て、正則切断全体がなすトロピカル加群の生成元を確認することでただちに計算できる二つの量を定義し、それらによって因子の階数が上下から挟まれることを示した。特にトロピカルトーリック多様体上の因子に対してはそれら二つの量は一致することを示し、それを用いて因子の階数を計算した。また、上記の研究とトロピカル因子の交点理論についての先行研究を合わせることで、結論としてリーマン・ロッホの不等式を得ることができた。この結果は論文として執筆中であり、ワークショップで発表するなどしている。上記及び前回の研究からトロピカルアーベル多様体とトロピカルトーリック多様体に対してリーマン・ロッホの不等式を得ることができたが、その結果はどちらも複素代数幾何で得られる結果と非常に適合するものになっている。これは複素代数幾何とトロピカル幾何の対応を観察する手掛かりの一つである。この対応を観察することで理論の一般化ができる期待があり、その研究のため代数多様体の崩壊理論について現在勉強中である。

今年，我们研究了一般维热带流形上因子的秩与该因子对应的线丛的所有正则切割形成的热带模之间的关系。应用这些结果，我们获得了热带复曲面的黎曼-罗赫不等式。我们还获得了一些新研究方法的想法。因子等级的定义与经典情况不同，并且不能立即从整个全纯割形成的热带模计算出来。受可计算因子秩的热带阿贝尔流形研究的启发，我们通过确定整个全纯段形成的热带模的生成元，定义了两个可立即计算的量，并据此计算秩该因素被证明是从上方和下方挤压的。特别是，我们证明这两个量对于热带复曲面流形上的一个因子来说是一致的，并用它来计算该因子的等级。此外，将上述研究与前人关于热带因素交叉理论的研究相结合，得到了黎曼-罗赫不等式的结论。目前，研究结果正在撰写为论文，并将在研讨会上展示。从上述和以前的研究中，我们能够获得热带阿贝尔簇和热带环面簇的黎曼-罗赫不等式，并且这两个结果与复杂代数几何获得的结果高度一致。这是观察复杂代数几何与热带几何对应关系的线索之一。希望观察这种对应关系将导致理论的推广，为此我目前正在研究代数簇的崩溃理论。

项目成果

トロピカル幾何学と Riemann-Roch の定理

热带几何和黎曼-罗赫定理

• 发表时间: 2019
• 作者: 柴垣翔平;田原聡子;渋谷彰;鷲見拳
• 通讯作者: 鷲見拳

トロピカル曲線上のリーマン・ロッホの定理

热带曲线上的黎曼-罗赫定理

• 发表时间: 2019
• 作者: Kurotsu Shota;Sadahiro Taketaro;Fujita Ryo;Tani Hidenori;Yamakawa Hiroyuki;Tamura Fumiya;Isomi Mari;Kojima Hidenori;Yamada Yu;Abe Yuto;Murakata Yoshiko;Akiyama Tatsuya;Muraoka Naoto;Harada Ichiro;Suzuki Takeshi;Fukuda Keiichi;Ieda Masaki;鷲見拳;鷲見拳
• 通讯作者: 鷲見拳

A rank of divisors on tropical tori

热带花托上的约数等级

• 发表时间: 2018
• 作者: Sadahiro T;Isomi M;Muraoka N;Kojima H;Haginiwa S;Kurotsu S;Tamura F;Tani H;Tohyama S;Fujita J;Miyoshi H;Kawamura Y;Goshima N;Iwasaki YW;Murano K;Saito K;Oda M;Andersen P;Kwon C;Uosaki H;Nishizono H;Fukuda K;Ieda M;柴垣翔平 田原聡子 渋谷 彰;鷲見拳
• 通讯作者: 鷲見拳

Theta functions and Reimann-Roch inequality on tropical abelian surfaces

热带阿贝尔表面上的 Theta 函数和 Reimann-Roch 不等式

• 发表时间: 2018
• 作者: 柴垣翔平;田原聡子;渋谷彰;鷲見拳;鷲見拳
• 通讯作者: 鷲見拳

Tropical Theta Functions and Riemann-Roch Inequality for Abelian Surfaces

阿贝尔曲面的热带 Theta 函数和 Riemann-Roch 不等式

• DOI: 10.1007/s00209-020-02559-9
• 发表时间: 2021
• 期刊: Mathematische Zeitschrift
• 影响因子: 0.8
• 作者: Ken Sumi