交代化数を用いた結び目理論の研究

使用交替数的纽结理论研究

基本信息

批准号：
09J09287
负责人：
安部哲哉
金额：
$ 0.9万
依托单位：
Osaka City University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2009
资助国家：
日本
起止时间：
2009 至 2010
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J09287/
关键词：
交代化数ラスムッセン不変量等質結び目 Khovanov homology 符号数 Lee's homology Khovanov homological width Turaev genus braid theory

项目摘要

私は、結び目理論のみならず、表現論からも注目されているコバノフホモロジーの理論を用いて結び目の交代化数の研究を行ってきた。交代結び目とは、紐を辿ると上交差と下交差が交互に出る図式をもつ結び目のことである。結び目の交代化数(alternation number)は、与えられた結び目が、どれだけ交代結び目から離れているのかを測る不変量の一つである。交代化数の研究における課題は交代化数の下からの評価を与えることであった。私は、新しい交代化数の下からの評価を与えることに成功した。この評価方法の特徴は、2つの不変量(古典的な不変量である結び目の符号数とコバノフホモロジーに由来するラスムッセン不変量)を組み合わせて用いた点である。この評価は強力であり、現在のところ最も有効な評価式である。また具体的な結び目の交代化数の評価にも適していた。交代化数の応用上、ラスムッセン不変量の計算は本質的に重要である。私は、論文「The Rasmussen invariant of a homogeneous knot」において、等質結び目という、交代結びを一般化した結び目にクラスのラスムッセン不変量を完全に決定した。したがって、非等質結び目のラスムッセン不変量を求めることが課題となる。私は、論文「Lee's homology and Rasmussen invariant」において、典型的な非等質結び目であるタイプ(-3,5,7)のプレツェル結び目のラスムッセン不変量を計算する新しい方法を示唆する結果を得た。

我一直在利用科巴诺夫同调理论研究纽结的交替数，该理论不仅引起了纽结理论的关注，而且也引起了表示理论的关注。交替结是一种在追踪绳子时具有上下交叉交替出现的图案的结。结的交替数是衡量给定结距交替结有多远的不变量之一。替代数量研究的挑战是对替代数量进行自下而上的评估。我设法从新的替换号码的底部给出了评价。这种评估方法的特点是它使用两个不变量的组合（结的符号数，这是经典的不变量，以及从科巴诺夫同调导出的拉斯穆森不变量）。这个评价是有力的，也是目前最有效的评价公式。它还适用于评估特定结的交替数量。拉斯穆森不变量的计算对于交替数的应用至关重要。在我的论文“齐次结的拉斯穆森不变量”中，我完全确定了一类齐次结的拉斯穆森不变量，这是交替结的推广。因此，挑战在于找到非齐次结的拉斯穆森不变量。在我的论文“Lee 的同源性和 Rasmussen 不变量”中，我获得的结果提出了一种计算 (-3,5,7) 类型的椒盐卷饼结（典型的非均匀结）的 Rasmussen 不变量的新方法。