諸数学分野の理論に基づく構造保存型数値解法の拡張

基于不同数学领域理论的结构保持数值方法的扩展

• 批准号: 16J03662
• 负责人: 佐藤 峻
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2016
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2016-04-22 至 2019-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16J03662/
• 关键词: 微分代数方程式; 構造保存数値解法; 離散勾配法; 混合微分; 発展方程式; 収束解析; short pulse方程式; sine-Gordon方程式; 自己適合動的格子差分法

本年度は最終年度であったため，これまでの研究のブラッシュアップおよび取りまとめを行った．昨年度までに研究し，研究報告書において報告した「short pulse方程式に対する自己適合動的格子差分法」，「混合微分を含む発展方程式に対する数値解法」，「Modified Hunter--Saxton 方程式に対する構造保存差分法の収束解析」に関して，投稿していた論文が今年度に採択された．昨年度研究を開始し，研究報告書において報告した「微分代数方程式に対する離散勾配法」について，さらに研究を進めた上で論文を投稿した．また関連する内容に関して国内学会で発表した．この研究は，離散勾配法を微分代数方程式へ拡張したものである．離散勾配法とは，常微分方程式が保存量 (時間とともに変わらない量) あるいは散逸量 (時間とともに減少する量) をもつ場合に，これらの性質を継承した数値解法を構成する代表的な手法である．離散勾配法の枠組は常微分方程式に対しては非常によく整理されており，原理的には全ての保存/散逸量をもつ常微分方程式に対して適用できることが知られている．同様の手法は，個別の微分代数方程式 (常微分方程式の一種の拡張であり，拘束条件をもつ) に対しても適用されてきたが，枠組としては全く整備されていなかった．昨年度は，微分代数方程式における保存/散逸量の議論を整備したが，今年度は，指数1という比較的扱いやすい微分代数方程式に限定するものの，保存/散逸量を継承した離散化手法を構成した．

由于今年是最后一年，我们已经刷新并编译了先前的研究。我在去年之前提交了研究的论文，并在我的研究报告中报道了“短脉冲方程的自拟合动态晶格差异方法”，“包含混合差异的进化方程的数字解决方案方法”和“对修饰的猎人 - saxton方程的结构保守差异方法的融合分析”，本年度采用了本年度。我去年开始了研究，并进一步研究了我的研究报告中报道的“差异代数方程式的离散梯度方法”后，我提交了一篇论文。相关内容也在国内学术会议上介绍。这项研究将离散梯度方法扩展到差分代数方程。离散的梯度方法是构成数值解决方案的典型方法，当普通微分方程具有保守量（不会随时间变化的量）或消散量（随着时间的推移降低的量）时，它将继承这些属性。离散的梯度框架非常适合普通微分方程，并且原则上适用于所有保守/消散量的普通微分方程。类似的方法已应用于单个微分代数方程（普通微分方程的扩展和具有约束的一种扩展），但根本没有开发它们。去年，我们讨论了差异代数方程中的保护/耗散量，但是今年，我们构建了一种继承保护/耗散的离散方法，尽管我们将自己限制在指数1的相对易于易于的差异代数方程中。

项目成果

A self-adaptive moving mesh method for the short pulse equation via its hodograph link to the sine-Gordon equation

• 发表时间: 2016-07
• 期刊: arXiv: Numerical Analysis
• 作者: S. Sato;K. Oguma;T. Matsuo;B. Feng

Convergence analysis of a conservative finite difference scheme for the modified Hunter--Saxton equation

修正Hunter--Saxton方程保守有限差分格式的收敛性分析

• 发表时间: 2018
• 作者: Shun Sato;Kazuhito Oguma;Takayasu Matsuo;Baofeng Feng;佐藤 峻;佐藤 峻;Shun Sato
• 通讯作者: Shun Sato

modified Hunter--Saxton方程式に対する保存的数値解法と爆発現象の数値的観察

修正亨特--萨克斯顿方程的保守数值解及爆炸现象的数值观测

• 发表时间: 2018
• 作者: Shun Sato;Kazuhito Oguma;Takayasu Matsuo;Baofeng Feng;佐藤 峻;佐藤 峻;Shun Sato;佐藤 峻
• 通讯作者: 佐藤 峻

微分代数方程式に対する離散勾配法について

微分代数方程的离散梯度法

• 发表时间: 2017
• 作者: Shun Sato;Takayasu Matsuo;佐藤 峻;佐藤 峻
• 通讯作者: 佐藤 峻

微分代数方程式に対する離散勾配法の構築

微分代数方程离散梯度法的构造

• 发表时间: 2018
• 作者: Shun Sato;Kazuhito Oguma;Takayasu Matsuo;Baofeng Feng;佐藤 峻;佐藤 峻
• 通讯作者: 佐藤 峻