フーリエ制限法による非線形分散型偏微分方程式の適切性の解明

使用傅里叶限制法阐明非线性分布偏微分方程的适当性

基本信息

批准号：
08J02196
负责人：
岸本展
金额：
$ 1.15万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度の研究では,ザハロフ方程式の周期境界条件下での初期値問題の適切性について著しい進展があった.ザハロフ方程式はプラズマ物理におけるラングミュア乱流のモデルとされ物理的にも重要な非線形分散型方程式の一つである.空間領域をユークリッド空間とした(周期境界条件を課さない)場合にはザハロフ方程式の適切性は非常によく研究されているが,周期境界条件を扱った結果は過去に空間1次元でしか知られていなかった.本研究では空間2次元以上の場合に,初期値をソボレフ空間にとり,フーリエ制限ノルムによる時間局所適切性の証明を与えた.特に2次元の場合にはエネルギー空間における適切性を示し,また得られた結果が逐次近似法を用いる限り最良であることもわかった.1次元では未知関数の周期が適切性の成り立つソボレフ指数に影響を与えることが知られていたが,2次元では周期による結果の差異がなくなるという興味深い事実も判明した.これは角度成分の存在による非線形相互作用の複雑化が原因であり,本研究の核心部分である非線形相互作用の精密な解析を行うことで初めて示されるものである.また,周期境界条件下ではユークリッド空間の場合に比べて平滑化効果が弱く,逐次近似項の適切な評価式を得ることが格段に困難となるが,方程式の幾何的性質を最大限に活用することによってそれを克服した.これらの結果は台湾の国立成功大学で開催された国際会議等で発表した.さらに,2次元の場合にI□メソッドを適用し,エネルギー空間より広いクラスでの小さい初期値に対する時間大域適切性も示した.2次元ユークリッド空間の場合には同様の結果が知られていたが,本研究ではI□メソッドにおいて中心的な役割を果たす「殆ど保存する修正エネルギー」の構成過程を見直すことでその結果を改善し,周期境界条件下の場合にも時間局所適切性のための評価式をうまく適用して同様の大域適切性を得た.

今年的研究在周期性边界条件下的初值问题对扎哈罗夫方程的适用性方面取得了重大进展，对空间域为欧氏空间（不施加周期性边界条件）时扎哈罗夫方程的适用性进行了广泛的研究。），但过去尚未发表过有关周期性边界条件的结果，仅在一维空间中已知。在本研究中，在二维或多维空间的情况下，我们在 Sobolev 空间中取初始值，并使用傅立叶限制范数证明时间局部充分性。特别是，在二维的情况下，我们证明了能量空间，并且我们还证明了所得到的结果是逐次逼近法。还发现，只要在一维中使用未知函数的周期是最好的。已知未知函数的周期影响Sobolev指数，这是合适的，但在二维中没有区别一个有趣的事实是，据透露，这是由于角度分量的存在而导致非线性相互作用变得复杂，而这只能通过对非线性相互作用进行精确分析来证明，这是本研究的核心。此外，在周期性边界条件下，相比于欧几里得空间的情况虽然平滑效应较弱，且逐次逼近项很难得到合适的评价公式，但充分利用方程的几何性质克服了这一问题。在成功大学举行的国际会议上提出。此外，我们将 I□ 方法应用于二维情况，并展示了其对于比能量空间更宽的类中的小初始值的时间全局适应性。二维欧几里德空间也有类似的结果。在这项研究中，我□我们通过回顾在该方法中发挥核心作用的“几乎守恒修正能量”的构建过程来改进结果，并成功地应用时间局部充分性的评估公式，即使在周期性边界条件下也获得了类似的全局充分性。。