多孔質媒質中の二重拡散対流を記述する方程式系の数学的解析

描述多孔介质中双扩散对流的方程组的数学分析

• 批准号: 14J05316
• 负责人: 内田 俊
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2014
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2014-04-25 至 2016-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14J05316/
• 关键词: 二重拡散対流現象; Brinkman-Forchheimer方程式; 非圧縮性粘性流体; 非単調摂動理論; 時間周期問題; Large Data; 大域アトラクター; 指数アトラクター; Brinkman-Forchheimer 方程式; 非有界領域; 非線型現象; Soret効果

二重拡散対流現象とは，流体内の熱・溶質が空間的に不均一である時に生じる，通常の拡散過程よりも複雑な現象の総称である．多孔質媒質中における非圧縮性粘性流体の二重拡散対流現象を記述する方程式系に対し，本年度我々は以下に挙げる結果を得た．(1) H1空間におけるアトラクターの構成：外力項が時間に依存しない場合に対し，次元が4以下の有界領域上における方程式系から生成される力学系に，ソボレフ空間H1における大域アトラクター及び指数アトラクターが存在することを示した．H1空間におけるアトラクターの構成には，各時刻における解のH2ノルム評価が必要となるが，我々はこれを，H. Brezisによる抽象論の，解の正則性に関する補題を修正・適用することで導出した．この補題の元々の証明では，作用素の極大単調性が巧妙に用いられるため，摂動項を加えても成立するという事実は，発展方程式論の観点からすれば非常に興味深い結果である．またこの方法は，流体現象を表す方程式系に対する解の正則性を議論する際の1つの手がかりを与えるものであると考えられる．(2) 全空間領域上における時間周期解の構成：空間次元が3または4である全空間領域上における時間周期問題が，Large data（外力項に小ささの条件を課さない）の下で可解性を持つことを示した．ここではまず近似解として，領域を半径nの開球とした場合の時間周期解をLarge dataの下で構成する．その後近似解のnに対する一様有界性を導出，n→∞における収束性を議論することで全空間領域上の時間周期解を構成した．非有界領域上における非単調摂動項付き非線型放物型方程式の時間周期問題に対するLarge dataの下での可解性について言及した先行結果は非常に少ない為，この結果は非線形偏微分方程式の時間周期問題に対する一つの新しい知見を与えることに成功したと言える．

双扩散对流是现象的一般术语，当流体中的热量和溶液在空间上比通常的扩散过程是不均匀的。今年，我们为一个方程式系统获得了以下结果，该方程系统描述了多孔介质中不可压缩粘性流体的双扩散对流现象。 （1）在H1空间中的吸引子的构建：如果外力项是不依赖时间的，我们证明了Sobolev空间中的全球吸引子和指数吸引子H1中存在于由限制区域的方程式产生的动态系统中，尺寸为4或更少。在H1空间中吸引子的构建需要每次评估溶液的H2规范，我们通过在H. brezis的抽象理论中修改和应用液体的规律性来得出这一点。从进化方程理论的角度来看，操作员的最大单调性被巧妙地用于此引理的原始证据，并且添加扰动项的添加是一个非常有趣的结果。在讨论代表流体现象的方程式系统的规律性时，该方法还被认为提供了线索。 （2）在整个空间域上构建时间周期解决方案：我们已经证明，在大数据下，可以解决整个空间尺寸的时间周期问题，其空间尺寸为3或4（外部力量术语都没有施加很小的条件）。首先，作为一个近似解决方案，当区域是半径为n的开放球时，我们将在大数据下构建时间周期解决方案。然后，我们得出N的近似解的统一界面性质，并讨论N→∞处的收敛性，以在整个空间域上构造时间周期解。由于以前的结果很少有人提及大数据下的可解扰性，用于非单线周期问题的非线性抛物线方程的时间问题问题，其在非结合域上具有非单调扰动项，因此可以说，这一结果可以成功地为非线性部分差异方程式的时间周期问题提供了新的见解。

项目成果

二重拡散対流方程式のアトラクターについて

关于双扩散对流方程的吸引子

• 发表时间: 2015
• 作者: 家﨑 高志;尾崎 翔;大西 勇気;宝田 剛志;米田 幸雄;金田 勝幸;檜井 栄一;川島翔;川島翔;三好航太，宮前卓磨，岩井裕，齋藤元浩， 吉田英生;内田 俊;菅沼健太郎;内田 俊
• 通讯作者: 内田 俊

全空間上の二重拡散対流方程式に対する時間周期問題の可解性について

全空间双扩散对流方程时间周期问题的可解性

• 发表时间: 2016
• 作者: 家﨑 高志;尾崎 翔;大西 勇気;宝田 剛志;米田 幸雄;金田 勝幸;檜井 栄一;川島翔;川島翔;三好航太，宮前卓磨，岩井裕，齋藤元浩， 吉田英生;内田 俊
• 通讯作者: 内田 俊

二重拡散対流方程式の指数アトラクターについて

关于双扩散对流方程的指数吸引子

• 发表时间: 2014
• 作者: Kentaro Suganuma;Nicola Strambini and Baris Kahraman;内田 俊
• 通讯作者: 内田 俊