Ａｂｅｌ多様体の数論的有限性と還元

阿贝尔流形的算术有限性和约简

• 批准号: 14J03074
• 负责人: 岡田 健
• 金额: $ 0.64万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2014
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2014-04-25 至 2015-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14J03074/
• 关键词: アーベル多様体; 数論幾何; 有限性; 還元; ツイスト; CM

アーベル多様体の数論的有限性に関して、前年度までに次の二つの重要な結果を証明していた：１. 体の有限次拡大L/KとK上のアーベル多様体Aが任意に与えられたとき、AのK上のツイストで、L/Kで自明化されるようなもののK上の同型類の集合が有限であること。２．代数体KとK上のアーベル多様体Aが任意に与えられたとき、AのK上のツイスト全体の集合に対して、Rasmussen-玉川の有限性予想が成立すること。特に、次元が6以下の場合、K上の潜在的CMアーベル多様体全体の集合に対して、Rasmussen-玉川の有限性予想が成立すること。１は、偏極付で考える場合は自己同型群の有限性があるため容易であるが、偏極を考えない場合（したがって一般には自己同型群の有限性が確保されない場合）についてもツイストの有限性を示せたことは、アーベル多様体の基礎理論における基本的未解決問題を提示して証明した点で意義が大きい。また、２は、CMアーベル多様体全体の集合に対するRasmussen-玉川予想については小関祥康の先行研究によって証明が与えられており、また、次元が1の潜在的CMアーベル多様体全体の集合に対するRasmussen-玉川予想については、Abbey Bourdonの同時期の独立研究によって証明が与えられていたが、これを次元が6以下の潜在的CMアーベル多様体全体に対して付加条件なしで証明したことは、当該分野における意義が大きい。本年度は、これらの結果を一つにまとめた論文「On finiteness of twists of abelian varieties （アーベル多様体のツイストの有限性について）」にさまざまな技術的な修正や改良を行い、最終的に国際的学術雑誌に投稿した。なお、当該論文に関しては、未だ掲載確定となっていないため、下記の「１３．研究発表」の「雑誌論文」欄には記載していない。

关于阿贝尔簇的算术有限性，截至去年我们已经证明了以下两个重要结果： 1. 任意给出域 L/K 的有限度扩张和 K 上的阿贝尔簇 A，则集合 。 A 在 K 上的扭曲在 K 上的同构，使得它被 L/K 化为有限的。 2.给定一个任意代数域 K 和一个阿贝尔簇 A over K，Rasmussen-Tamakawa 有限性猜想对于 A over K 的所有扭曲的集合成立。特别是，当维数为 6 或更小时，Rasmussen-Tamakawa 有限性猜想对于 K 上所有潜在 CM 阿贝尔簇的集合成立。 1 由于自同构群的有限性，在考虑极化时很容易，但在不考虑极化时也很容易考虑扭曲的有限性（因此，一般情况下，不能保证自同构群的有限性）。我们能够证明这一点的事实意义重大，因为它提出并证明了阿贝尔簇基本理论中一个尚未解决的基本问题。此外，Yoshiyasu Koseki之前的研究已经证明了所有CM阿贝尔簇的Rasmussen-Tamakawa猜想，并且维度为1的所有潜在CM阿贝尔簇的Rasmussen-Tamakawa猜想也已被证明。玉川猜想同时被 Abbey Bourdon 的独立研究证明，但在没有任何附加条件的情况下对所有 6 维或以下的潜在 CM 阿贝尔簇得到证明这一事实在该领域具有重大意义。今年，我们对总结这些成果的论文《论阿贝尔簇的扭曲的有限性》进行了各种技术修正和改进，最终提交给了国际学术期刊。请注意，该论文尚未确认发表，因此未列在下面“13. 研究报告”下的“期刊文章”栏中。