特殊ラグランジュ部分多様体と可積分系へのループ群論的アプローチ

特殊拉格朗日子流形和可积系统的环群理论方法

• 批准号: 12J05600
• 负责人: 奥原 沙季
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: Tokyo Metropolitan University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2012
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2012 至 2013
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-12J05600/
• 关键词: 特殊ラグランジュ部分多様体; 調和写像; 可積分系; 戸田格子方程式

前年度に引き続き, 3次元特殊ラグランジュ部分多様体と可積分系の対応を, ループ群論の手法を用いて定式化することを目標とした. 複素3次元ユークリッド空間の特殊ラグランジュ部分多様体(特殊ラグランジュ錐)と, 代表的な可積分系の一種である戸田格子方程式の解は, 具体的な対応関係をもつ. 報告者はその対応関係を, 一般化されたワイエルシュトラス型表現公式とよばれる調和写像の構成法を介して, ループ群の観点より特徴付けた. この結果は論文"A cnstruction of special Lagrangian 3-folds via the generalized Weierstrass representation"にまとめ, 近く出版予定である. また, この対応は同時に, 或る二つの等質空間同士の対応として捉えることも出来得ると思われる. その相違について, 本年度はこれらの間の変換写像として定式化すべく考察を行い, 明示的な結果は得られていないものの, いくつかの進展を得た. この研究については今後も続けていく方針である.また, 複素4次元ユークリッド空間のある超曲面として定義される複素錐の特殊ラグランジュ錐についても上述の結果の類推が成り立つかどうか考察した. 複素ユークリッド空間でない, より一般のカラビーヤウ多様体上の特殊ラグランジュ部分多様体については未だあまり知られておらず, その例を与える試みとしてこの考察は意義があるものと思われる. これに関してまとまった結果は未だ得られていないが, 引き続き考察を続けていく。

延续去年的目标，我们的目标是利用圈群理论（锥体）的方法和典型可积类型的Toda晶格方程的解来建立3维特殊拉格朗日子流形与可积系统之间的对应关系。系统中，有具体的对应关系。记者将对应关系描述为，我们从环群的角度通过一种称为广义Weierstrass表示公式的调和映射的构造方法来表征它，这个结果发表在论文“A Construction of Special Lagrangian 3-folds via the Generalized Weierstrassrepresentation”中。另外，这个对应关系似乎也可以理解为两个同质空间之间的对应关系。今年，我们进行了一项研究来制定这些之间的转换映射，虽然我们还没有获得任何明确的结果，但我们已经取得了一些进展。我们计划在未来继续这项研究，我们考虑是否与上述结果进行类比。也适用于定义为具有复四维欧几里得空间的超曲面的复锥的特殊拉格朗日锥。关于更一般的卡拉比-丘流形上的特殊拉格朗日子流形，我们知之甚少，并且作为尝试提供示例的这种讨论似乎是有意义的，但我们将继续考虑它。

项目成果

A construction of special Lagrangian 3-folds via the generalized Weierstrass representation

• DOI: 10.14492/hokmj/1404229921
• 发表时间: 2014-06
• 期刊: Hokkaido Mathematical Journal
• 影响因子: 0.5
• 作者: Saki Okuhara