ネター多元環における導来同値とその不変量である自己移入次元の有限性に関する研究

诺特代数中导出等价性及其不变自传递维数的有限性研究

• 批准号: 12J02105
• 负责人: 古賀 寛尚
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: University of Tsukuba
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2012
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2012 至 2013
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-12J02105/
• 关键词: 導来同値; 傾斜鎖複体; 傾加群; 変異; 自己移入次元; ゴレンシュタイン次元

与えられた環(単位元を持ち結合律を満たす)の表現論的構造やホモロジー代数的性質を解明するにあたり、森田同値や導来同値の概念は極めて重要な役割を果たしている。二つの環が森田同値であるとき、ホモロジー代数的性質は同一であると見做せるのである。導来同値は森田同値の導来加群圏への一般化として捉えることができる。森田同値ならば導来同値であることを注意しておく。導来同値に関して、様々な不変量が知られており、導来同値な二つの環はホモロジー代数的性質がかなり近い事が分かる。そのため導来同値を引き起こす傾斜鎖複体を多く構成し、それらについて考察することが重要であり、現在も活発に研究が進められている。その研究の一つに変異の理論がある。本研究の目的の一つは導来同値を引き起こすネター多元環上の傾斜鎖複体及び傾加群の変異が起きるための必要条件及び十分条件を与えることであった。もう一つの目的は、導来同値の不変量である自己移入次元の有限性に関するもので、アルティン多元環に対して、両側の自己移入次元が有限であることと、任意の有限生成加群のゴレンシュタイン次元が有限であることが同値になるという星野の結果の両側ネター環への一般化を行うことであった。本年度は、星野との共同研究により、星野の結果をネター多元環へ基礎環の素イデアルによる局駈化を用いて精密化することに成功した。さらにネター多元環が局所環である時に、自己移入次元が両側で有限になる必要十分条件を深度を用いる事で与えた。

森田等价和导出等价的概念对于阐明给定环（具有单位元并满足结合律）的表示结构和同调代数性质起着极其重要的作用。当两个环森田等价时，它们的同调代数性质可以被认为是相同的。派生等价可以被视为森田等价对派生模块类别的推广。请注意，森田等价意味着派生等价。关于派生等价，已知各种不变量，并且可以看出，两个派生等价环的同调代数性质非常相似。因此，构建许多可产生衍生等价物的倾斜链复合物并对其进行研究非常重要，这项研究目前正在积极开展。其中一项研究是突变理论。本研究的目的之一是为诺特代数上梯度链复合体和梯度群的突变提供必要和充分的条件，从而产生派生等价。另一个目的与自转移维数的有限性有关，它是导出等价的不变量，对于阿尔提尼代数来说，两边的自转移维数都是有限的，目标是推广星野的结果，即有限的 Gorenstein 维数。导致与双面诺特环等价。今年，通过与星野的联合研究，我们成功地利用基环素理想的定位，将星野的结果细化为诺特代数。此外，当诺特代数是局部环时，我们利用深度给出了自转移维数两边都有限的充要条件。

项目成果

Semi-tilting Modules and Mutation

• DOI: 10.1007/s10468-012-9365-z
• 发表时间: 2013-10
• 期刊: Algebras and Representation Theory
• 影响因子: 0.6
• 作者: Hirotaka Koga

Finiteness of Selfinjective Dimension for Noetherian Algebras

诺特代数自射维数的有限性

• DOI: 10.1080/00927872.2012.686645
• 发表时间: 2013
• 期刊: Comm. Algebra
• 作者: K. Fukumuro;H. Kume and K. Nishida;M. Hoshino and H. Koga
• 通讯作者: M. Hoshino and H. Koga

Zaks' lemma for coherent rings

相干环的扎克斯引理

• DOI: 10.1007/s10468-012-9376-9
• 发表时间: 2012
• 期刊: Algebr. Represent. Theory (to appeal). Online First
• 作者: K. Fukumuro;T. Inagawa and Koji Nishida;酒井文雄;M. Hoshino and H. Koga
• 通讯作者: M. Hoshino and H. Koga