3次元多様体とその基本群の表現の研究

3维流形及其基本群的表示研究

• 批准号: 11J01121
• 负责人: 蒲谷 祐一
• 金额: $ 1.54万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2011
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2011 至 2013
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11J01121/
• 关键词: 3次元多様体; 双曲多様体; Klein群; 複素射影構造; 高次タイヒミュラー空間; 基本群の表現; 2・3次元多様体; 双曲幾何学; Fenchel-Nielsen座標

3次元多様体論はThurstonのHaken多様体の双曲化定理により1980年頃に劇的に進展した。定理の証明の中で彼はKlein群論に革新的なアイデアを導入しいくつかの予想を立てた。2000年代はこれらの予想に関して怒濤の進展があり現在では全て解決してしまった。とくにKlein群の分類が確立したと言える。問題が解けていく一方で, 表現の空間の中にKlein群は非常に複雑に入っている事が知られるようになった。具体的には'Bumping'という現象や, 局所連結でない点の存在が分かってきた。本年度は曲面群の表現の展開写像の絵を描くプログラムを作成した。これにより線型スライス内の離散表現の形や表現の凸包境界の様子が手にとるように調べられるようになった。この研究を通していろいろな事が分かったが, ほとんどはpleating rayの理論でうまく説明される現象であった。より注目を引く現象を見つけるため, 線型スライスの中でpleating rayの'外側'に見える表現について調べた。研究が進み, この外側の表現は複素射影構造の言葉でうまく説明される事が分かった。さらにこの外側の表現達はbumpingしている部分の切り口として説明できる事が分かってきている。このような外側の表現が現れる事は知られていたが, bumpingといった深い現象と関係付けた事に意義があると考えている。海外出張として5月にモントリオールのCRMで開かれた研究集会に2週間ほど参加。また10月にBrown大学で行われる長期のプログラムにも2週間ほど滞在した。Brown大学では他にSara Maloni氏と共同研究について議論した。その他に論文の校訂や査読の仕事があった。

1980 年左右，随着瑟斯顿哈肯流形的双曲化定理，三维流形理论取得了巨大的进展。在证明该定理时，他将创新的思想引入克莱因群论，并提出了几个猜想。在2000年代，这些预测取得了很大进展，现在所有这些都已得到解决。特别是，可以说克莱因群分类已经建立。当问题得到解决时，人们发现克莱因群在表示空间中极其复杂。具体来说，我们发现了“碰撞”现象以及局部不连接的点的存在。今年，我创建了一个程序来绘制一组曲面表示的展开图。这使得可以直观地检查线性切片内离散表示的形状以及表示的凸包边界的状态。通过这项研究发现了很多东西，但其中大部分都是可以用褶皱射线理论很好地解释的现象。为了找到更多引人注目的现象，我们研究了出现在线性切片内褶皱射线“外部”的表示。随着研究的进展，人们发现这种外部表征可以用复杂的射影结构来很好地解释。此外，越来越清楚的是，这些外部表达可以解释为缓冲部分的截面。尽管我们已经知道这种外部表达的出现，但我们相信将它们与碰撞等深层现象联系起来是有意义的。作为海外出差的一部分，我参加了 5 月份在蒙特利尔 CRM 举办的为期大约两周的研究会议。十月份，我还在布朗大学参加了为期两周的长期项目。在布朗大学，我还与萨拉·马洛尼讨论了合作研究。其他职责包括编辑和审阅论文。

项目成果

Quandle homology and group homology

Quandle 同源性和群同源性

• 发表时间: 2011
• 作者: K.Ichihara;I.D.Jong;Y.Kabaya;Y.Kabaya
• 通讯作者: Y.Kabaya

Exceptional surgeries on (-2,p,p)-pretzel knots

(-2,p,p)-椒盐结结的出色手术

• DOI: 10.1016/j.topol.2011.11.012
• 发表时间: 2012
• 期刊: Topology and its Applications
• 影响因子: 0.6
• 作者: K.Ichihara;I.D.Jong;Y.Kabaya
• 通讯作者: Y.Kabaya

Parametrization of PSL (2, C) -representations of surface groups

PSL (2, C) 的参数化 - 表面基团的表示

• DOI: 10.1007/s10711-013-9866-x
• 发表时间: 2014
• 期刊: Geometriae Dedicata
• 影响因子: 0.5
• 作者: Ryoyo Ikebuchi;Satoru Konnai;Yuji Sunden;Shiro Murata;Misao Onuma;Kazuhiko Ohashi;池渕良洋;Yuichi Kabaya
• 通讯作者: Yuichi Kabaya

Quandle homology and complex volume

• DOI: 10.1007/s10711-013-9898-2
• 发表时间: 2010-12
• 期刊: Geometriae Dedicata
• 影响因子: 0.5
• 作者: Ayumu Inoue;Y. Kabaya

Cyclic branched coverings of knots and quandle homology

结和 qudle 同源性的循环分支覆盖

• DOI: 10.2140/pjm.2012.259.315
• 发表时间: 2012
• 期刊: Pacific Journal of Mathematics
• 影响因子: 0.6
• 作者: Ayumu Inoue;Yuichi Kabaya;Yuichi Kabaya;Yuichi Kabaya
• 通讯作者: Yuichi Kabaya