双曲型測度の極限的直積構造に関する研究

双曲测度极限乘积结构研究

基本信息

批准号：
15740107
负责人：
鷲見直哉
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology (2004-2005)Tokyo Metropolitan University (2003)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

近年になってBarreira,Pesin,Schmelingらは,双曲型測度が「極限的直積構造」とばれる性質をもつことを発見しました.彼等はこの性質を用いてEckmann-Ruelle予想を解決しました.極限的直積構造は,位相的に定義された局所直積構造の測度論的な類似物になっています.しかし,局所直積構造ほどその研究は進められていません.本研究では,双曲型測度の極限的直積構造を用いたエルゴード理論的な研究を進めることを目的とします.本年度はHenon写像族を用いて特殊な双曲型測度の例を構成しました.ここで,Henon写像族とは1976年にHenonによって考案されたR^2上の写像で,次式で与えられます:f(x,y)=f_<a,b>(x,y)=(y+1-ax^2,bx).90年代の初頭にBenedicks-Carlesonは,(a,b)=(2,0)に近いLebesgue測度正の集合Eが存在し,(a,b)∈Eに対してf_<a,b>の臨界的集合と呼ばれるCantor集合Cと定数c>0とλ>1があって次を満たすことを示しました:x∈Cに対し接ベクトルv=(0,1)をとると,Collet-Eckmann条件|D_xf^n(v)|>cλ^nを満たす.この結果をもとにして,Benedicks-Youngは(a,b)∈Eに対してf_<a,b>がSRB測度をもつことを示しました.これらの結果に対して、私はいくらでも小さなLyapunov指数をもつSRB測度をもつようなHenonアトラクターの例を構成しました.正確にはEを上で述べたBenedicks-Carlesonのパラメター集合とし,E^*をEの密度点の全体とします.任意の(a,b)∈E^*のいくらでも近くに(c,b)∈(a,b)が存在して臨界点集合CのLyapunov指数の最小値が0であることを示しました.本研究で得られた例を基にして.双曲型測度がBernoulli性を持つための判定条件の研究、相関関数が多項式的な減衰をする(混合性の度合いが弱い)ストレンジアトラクターの構成ができると期待されます.

近年来，Barreira、Pesin、Schmeling 和同事发现双曲测度具有一个称为“极限乘积结构”的性质。他们利用这个性质解决了 Eckmann-Ruelle 猜想。极限乘积结构为，它是拓扑定义的局部乘积结构的测度理论模拟。但是，其研究进展不如局部乘积结构。在本研究中，我们将考虑双曲测度的极限乘积结构。目的是。使用以下方法推进遍历理论研究我们使用 Henon 图族构建了一个双曲测度的特殊示例，这里，Henon 图族是 Henon 于 1976 年设计的 R^2 上的图，由以下方程给出：f(x,y)=。 f_<a,b>(x,y)=(y+1- ax^2,bx)。20世纪90年代初，Benedicks-Carleson提出存在一个接近(a,b)=(2,0)的正Lebesgue测度的集合E，且对于(a,b)εE Cantor集合 C，称为 f_<a,b> 的临界集，定义为我们证明了存在满足以下条件的数字 c>0 和 λ>1：如果我们对 x∈C 取切向量 v=(0,1)，则 Collet-Eckmann 条件 |D_xf^n(v)| >cλ^n 基于这个结果，Benedicks-You 满足。 ng 已证明 f_<a,b> 具有 (a,b)εE 的 SRB 测度。根据这些结果，我已证明 f_<a,b> 具有任意小的李亚普诺夫指数的 SRB 测度。构造了 Henon 吸引子的一个例子，准确地说是 E设 E^* 为上述 Benedicks-Carleson 参数的集合，E^* 为 E 的总密度点。存在 (c,b)ε(a,b )，并且存在 Lyapunov 指数最小值临界点集 C 的值为0.根据本研究中获得的例子，我们研究了确定双曲测度是否具有伯努利性质的条件，并且相关函数是否具有多项式衰减（混合性质），预计存在奇异吸引子（程度较弱）。将形成。