曲面上の錐状特異点をもつ平坦構造のモジュライ空間

曲面上具有锥形奇点的平面结构的模空间

• 批准号: 15740039
• 负责人: 高山 晴子
• 金额: $ 1.92万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15740039/
• 关键词: 多角形; タイヒミュラー空間; 超楕円曲線; 平坦構造

曲面上の錐状特異点をもつ平坦構造のモジュライ空間について,今年度も昨年度に引続き,超楕円曲線の場合の平坦構造のモジュライ空間およびそのタイヒミュラー空間について研究を行った.平面上の多角形からそのある種のダブルをとることによって閉曲面を構成することができるが,この閉曲面は自然に錐状特異点をもつ平坦構造を許容している.しかもそれは平面を複素平面と同一視することにより自然に複素曲線と見なすことができ,さらにその構成法から複素曲線としては位数2の正則自己同型をもつことから超楕円曲線になっていることがわかる.このとき,この超楕円曲線のタイヒミュラー空間と平面上の多角形のモジュライ空間が(種数と多角形の辺の数を固定した上で)同じ次元をもつこと,また多角形の退化と超楕円曲線の退化が丁度対応することから,双方の空間が同型,すなわち超楕円曲線のタイヒミュラー空間が,平面多角形によってパラメタ付けられるという予測が自然と導かれた.この予測にもとづいて,多角形のモジュライ空間の適当な定義が必要となる.今年度は昨年度得られた4角形の場合の定義を考察することにより,5角形の場合にもそれが拡張することを考察した.実際に,5角形において最も複雑である星型の場合にも,対応する超楕円曲線があることを示した.このとき用いたのは,昨年度と同様,多角形のモジュライ空間と超楕円曲線のタイヒミュラー空間を結びつける役割を果たす,球面上の錐状特異点をもつ平坦構造のモジュライ空間である.特に標識付き平坦構造という概念を導入した結果,超楕円曲線の自己同型類群の超楕円曲線のタイヒミュラー空間への作用が,標識付き平坦構造のモジュライ空間の上に誘導され,さらに平面多角形のモジュライ空間への作用の記述を可能にした.また,超楕円曲線とは限らないリーマン面と多角形との関係については,リーマン面上の正則1形式を用いることにより,錐状特異点をもつ平坦構造を対応させ,正則1形式の特異点の組み合わせ構造を考察することにより超楕円曲線と同様の議論が成り立つことを考察した.

关于曲面上具有锥形奇点的平面结构的模空间，今年继去年之后，我们对超椭圆曲线情况下的平面结构的模空间及其Teichmuller空间进行了研究.平面上的多边形是从这样就可以构造出一个闭合曲面，但是这个闭合曲面自然允许具有圆锥形奇点的平面结构。而且，通过将一个平面等同于一个复平面，它自然可以被视为一条复曲线。其构造方法，可以将其视为一条复杂曲线。可以看出，它是一条超椭圆曲线，因为它具有2阶正则自同构。那么，这条超椭圆曲线的Teichmuller空间和平面上多边形的模空间（亏格和重数）具有相同的维度（。固定多边形的边数），以及由于多边形的简并性恰好对应于超椭圆曲线的简并性，因此很自然地预测两个空间是同构的，即超椭圆曲线的Teichmuller空间由平面多边形参数化。这个预测基于多边形模天空今年，通过考虑去年获得的四边形的定义，我们认为可以推广到五边形的情况。事实上，对于五边形来说，即使是最复杂的星形也有相应的超椭圆曲线。和去年一样，我们使用了球面上有圆锥奇点的平面结构模空间，起到了连接多边形模空间和超椭圆曲线的Teichmuller空间的作用。引入了标记平面结构的概念。特别的。因此，超椭圆曲线自同构类的超椭圆曲线的 Teichmuller 空间上的作用被导出到标记平面结构的模空间上，并且也可以描述平面多边形模空间上的作用。此外，我们还有- 关于多边形和正则黎曼曲面的关系，通过在黎曼曲面上使用正则1形式，我们可以将具有圆锥形奇点的平面结构对应起来，并且通过考虑正则1形式的奇点的组合结构，我们可以找到一个上层建筑。我们认为同样的论点也适用于椭圆曲线。