熱場の量子論の数学的解析

热场量子理论的数学分析

• 批准号: 09J01650
• 负责人: 松澤 泰道
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2011
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J01650/
• 关键词: Polish群; 両側不変距離; 無限次元ユニタリ群; 有限von Neumann環; 位相群の埋め込み; 熱場の量子論; 有限von Neumann代数; 非有界作用素代数; テンソル圏; 非有界作用素; 無限次元Lie群; 無限次元Lie代数; 非可換積分

京都大学の安藤浩志氏と共同でSorin Popa氏が2007年にInventiones Mathematicaeで提起した位相群の埋め込み問題について研究を行った.具体的には与えられたPolish群がいつ有限von Neumann環のユニタリ群に埋め込めるか特徴づけを与えよ,という問題を考察した.Popa氏は氏のコサイクル超剛性定理を述べる際のtarget groupとしてこのような群を採用し,有限型Polish群と呼んだ.自明な考察から有限型Polish群は(1)無限次元Hilbert空間上のユニタリ群に埋め込め,更に(2)compatibleな両側不変距離を持つ.(2)は有限von Neumann環がトレースを持つことから従う.Polish群がこの2つの条件を持てば有限型か,というのがPopa氏の問題である.我々は昨年度,局所コンパクト群とamenable群の場合にこの問題を肯定的に解いた.一方で具体的な例はあまり知られていなかった.Popa氏も自明な例(可換群,離散群,コンパクト群)を挙げる以外に特に例を構成していない.我々は実際に有限型Polish群の例を見つけることに成功した.(1)可分な無限次元Hilbert空間上のユニタリ作用素でHilbert-Schmidt作用素の差を除いて恒等作用素なもの全体の成す群.(2)II_∞型von Neumann環のユニタリ元でL^2の差を除いて恒等作用素なもの全体の成す群.(3)性質(T)を持つvon Neumann環の自己同形群など.それに対対して超有限II_1型因子環の自己同形群は有限型Polish群ではない.物理学に現れるどのような無限次元群が有限型Polish群かどうか判定すること,及びPopaの問題を一般の場合に解くことは今後の課題である.

与京都大学的Ando Hiroshi合作，Sorin Popa研究了2007年发明中提出的阶段组嵌入问题。特别是，他研究了何时可以将给定的波兰人组嵌入到有限的有限的von Neumann环中的问题。 Popa描述了他的Cocycle Supersilient定理，并将其称为有限型波兰人小组时，采用了该群体作为目标群体。从显而易见的考虑因素来看，有限型波兰人可以将其嵌入无限的尺寸Hilbert Space中，并且（2）具有兼容的两侧不变距离。 （2）是有限型波兰组，这是因为Neumann环具有痕迹。 Popa的问题是，如果波兰人组有这两个条件，那么它是有限类型。去年，我们解决了当地紧凑型组和可拟及的组的情况。另一方面，有鲜为人知的具体示例。 POPA除了引用明显的例子（交换组，离散组，紧凑型组）外，POPA也不构成一个特定的例子。实际上，我们已经成功地找到了有限型波兰人组的例子。 （1）除了希尔伯特 - 史密特操作员的差异外，整个统一操作员的整个身份操作员组中的整个身份操作员的组。 （2）II_∞型von Neumann环的统一源中的整个身份算子的组，除了l^2的差异。 （3）具有属性（t）自动形态的整个身份操作员组的组组等。另一方面，超菲斯II_1因子环的自动形态组不是有限型抛光群。确定物理中出现的无限维度组是否是有限型波兰人组，并在一般情况下解决POPA问题是一个未来的挑战。

项目成果

On Polish Groups of Finite Type

论有限型波兰群

• 发表时间: 2012
• 期刊: Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences
• 影响因子: 1.2
• 作者: 松澤泰道;安藤浩志
• 通讯作者: 安藤浩志

Existence of Infinite Dimensional Lie Algebra for a Unitary Group on a Hilbert Space and Related Aspects

希尔伯特空间上酉群的无限维李代数的存在性及相关问题

• 发表时间: 2012
• 期刊: Banach Center Publications
• 作者: 松澤泰道;安藤浩志
• 通讯作者: 安藤浩志

Popaの埋め込み問題について

关于Popa嵌入问题

• 发表时间: 2012
• 作者: 松澤泰道;安藤浩志;松澤泰道
• 通讯作者: 松澤泰道