代数幾何学的側面から見た超幾何関数の研究

从代数几何角度研究超几何函数

• 批准号: 13640010
• 负责人: 寺杣 友秀
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13640010/
• 关键词: テータ関数; 周期写像; 代数的サイクル; ホッジ理論; 多重ゼータ値; 超幾何微分方程式; p-進特殊関数; 多重ゼータ関数; 混合モチーフ; 保型関数

1 テータ関数を使ったモジュライ空間の射影空間への埋め込みの構成。ドリーニュ=モストウにより分岐条件が与えられたときの射影直線の分岐被覆のモジュライが対称領域の開集合となるための一つの十分条件があたえられた。そのひとつの場合である8点で分岐する場合の周期領域のテータ埋め込みを構成した。これは4重被覆で与えられるが、中間の超楕円曲線の二重被覆のプリム多様体の特別な2分点におけるテータ指標の多項式で与えられる。8次の対称群が2元体上6次元の二次形式を保つ群として実現されるが、この群の作用を用いて、プリム多様体の商で主偏極をもつアーベル多様体の集合を対称的に扱うことが重要である。さらにこの作用をもって105個のテータ指標の多項式が構成され、これを使ったモジュラー埋め込みが複比を用いた多項式による埋め込みとなっていることが示される。2 アーベル多様体の代数的サイクルの変形理論による構成。円分体を虚数乗法として持つアーベル多様体がそのコホモロジーに関するある表現論的条件をみたすとき、因子類群では生成されないホッジサイクルがヴェイユにより構成された。このサイクルが代数的サイクルで生成されるかどうかは懸案である。このアーベル多様体がある曲線のヤコビアンの商として得られている場合を考えてみる。このヤコビアンの変形が与えられたとき、この曲線の被覆のある変形でそのヤコビアンが与えられたヤコビアンの変形を商としてもつとき、ヴェイユのホッジサイクルは代数的であることをしめした。いまのところ、一般的な状況でこのような曲線の被覆は知られていないが、曲線が楕円曲線であるときは必ず存在することがわかっている。3 極大退化曲線族に関する極限ホッジ構造とその算術的写像類群の周期への応用。ハイン氏との共同研究。極大曲線族の極限ホッジ構造をドリンフェルトアソシエーターにより表現することによりその周期が多重ゼータ値により記述される。マンフォードとショットキーによる構成法の比較により示した。さらにこれを写像類群及びその算術部分の研究に応用した。このとき相対完備化がモチーフ的であることを証明した。累次高次順像をつかうドリーニュ=ゴンチャロフの方法を相対完備化の時に用いた。

1 使用 theta 函数构建模空间到射影空间的嵌入。 Deligne-Mostou 给出了当给定分叉条件时，射影线的分叉覆盖模是对称区域的开集的充分条件。我们为一种情况构建了周期域的 theta 嵌入，即八点分支的情况。这是由四重覆盖给出的，但是由中间超椭圆曲线的双覆盖的原始流形的特殊平分点处的 theta 指数中的多项式给出。 8 阶对称群被实现为在二元域上保持 6 维二次形式的群，并且通过使用该群的作用，我们可以形成一组在初数的商中具有主极化的阿贝尔簇对称地对待它们很重要。此外，通过该动作构造了105 theta指数的多项式，并且表明使用该动作的模嵌入是使用交叉比的多项式的嵌入。 2 使用变形理论构造阿贝尔簇的代数环。当以分圆域作为虚乘数的阿贝尔簇满足关于其上同调的某些表示条件时，韦尔构造了一个霍奇循环，该循环不是在因子类中生成的。这个循环是否由代数循环产生是一个问题。让我们考虑这种阿贝尔簇作为某条曲线的雅可比行列式的商获得的情况。我们已经证明，当给出该雅可比行列式的变形时，并且如果雅可比行列式具有在该曲线覆盖的某种变形下给定雅可比行列式的变形作为商，则韦尔的霍奇循环是代数的。到目前为止，这种曲线覆盖在一般情况下还不为人所知，但众所周知，只要曲线是椭圆曲线，它就存在。 3 最大简并曲线族的极限Hodge结构及其在算术映射类群周期中的应用。与Hein先生共同研究。通过使用 Drinfeld 关联器表达最大曲线族的极限 Hodge 结构，其周期可以通过多个 zeta 值来描述。通过比较 Mumford 和 Schottky 的构造方法可以看出这一点。此外，我将其应用于映射类群及其算术部分的研究。这时，我们证明了相对完成是一个母题。 Deligne-Goncharov 的方法使用连续的高阶图像，用于相对完成。