K3曲面の幾何学

K3表面的几何形状

• 批准号: 09J00978
• 负责人: 馬 昭平
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2011
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J00978/
• 关键词: K3曲面; 非シンプレクティック自己同型; 有理性問題; SL(2); non-symplectic対合; trigonal曲線; モジュライ空間; 有理多様体; twisted Fourier-Mukaiパートナー; Kahlerモジュライ; 有理写像; Kummer曲面; 塩田-猪瀬構造; Abel曲面; 塩田-三谷の公式

本年度はまず対合付きK3曲面のモジュライ空間の有理性に関する論文の執筆に力を注いだ。この原稿は10月に完成し、現在投稿中である。対合付きK3曲面のモジュライ空間は全部で75個あるが、そのうち67個が有理的であることを論文では証明している。その証明はケースバイケースで行うので冗長になりがちだが、私はそのうちのある部分(周期写像の次数の計算)を系統的に整理することで論文の長さを短くできた。こうして整理して抽出した周期写像の次数計算の方法は将来の研究にも広く利用できるものである。上記原稿完成後プレプリントサーバのarXivに発表したところ(arXiv:1110.5110)すぐに反響があり、すでにいくつかの論文で引用されている。上記論文の執筆と並行して位数3の非シンプレクティック自己同型付きK3曲面のモジュライについても同様の研究を行った。すると総計24個のモジュライが全て単有理的で、そのうち20個が有理的であることが証明できた。研究の過程でそのようなK3曲面の構成方法として「混成分岐」という概念も考案した。これは有理数係数の因子をうまく利用して異なる次元の不動点集合を扱う概念である。そのようなK3曲面の研究を豊かにすると見込まれる。また、上記論文に関連して吉川謙一氏にいくつかの対合付きK3曲面のモジュライ空間のテータ零値因子について質問を受けたので、それに応えてそれらのテータ零値因子を明示的にHeegner因子として決定した。また、より一般に代数群の商空間の有理性問題を探求し、2変数特殊線形群2つの積の既約表現を考察してそのうちの約7割について不変式体が有理的であることを証明した。これはそのうちの一部の場合についてのShepherd-Barron氏の研究を大幅に拡張するとともにより簡明な別証明を与えている。証明で鍵となった論法はより一般に直積群の表現に対しても適用できるもので、今後の応用が見込まれる。

今年，我首先专注于撰写一篇有关Modulai空间与配对K3表面的合理性的论文。该手稿于10月完成，目前正在提交。配对的K3表面共有75个模量空间，其中67个是理性的。此证明通常是多余的，因为它是逐案进行的，但是我能够通过系统地组织其中的某些部分（计算周期性地图的顺序）来缩短论文的长度。可以在未来的研究中广泛使用了以这种方式计算周期性地图和提取的定期地图顺序的方法。上述手稿完成后，它发表在Arxiv上，预印式服务器（ARXIV：1110.5110）上，并立即收到响应，并且已经在几篇论文中引用。与上述论文的撰写同时，在模量上进行了类似的研究，其K3表面的非晶格自态具有3阶。这证明总共24个模量都是理性的，其中20个是理性的。在研究过程中，还设计了“混合成分分支”的概念作为构建这种K3表面的方法。这是一个使用理性系数因素来处理不同维度的固定点的概念。预计它将丰富此类K3表面的研究。此外，相对于上述论文，Yoshikawa Kenichi先生询问了几个配对的K3表面模块化空间的Thera-Zero因子，因此，根据响应，它们明确确定了Thera-Zer-Zero因子为Heegner因子。我们还更广泛地探讨了代数群体的商空间的合理性问题，并检查了两个双变量特殊线性群体的两种产品的不可还原表示，并证明了不变的字段对于其中70％的70％是合理的。这大大扩展了Shepherd-Barron在其中一些情况下的工作，并提供了更直接的替代证明。证明中的主要论点可以更普遍地应用于直接产品组的表达，并有望在将来应用。

项目成果

対合付きK3曲面のモジュライの有理性

配对K3曲面模量的合理性

• 发表时间: 2012

Twisted Fourier-Mukai number of a K3 surface

K3 表面的扭曲 Fourier-Mukai 数

• 发表时间: 2010
• 期刊: Transactions of the American Mathematical Society 362
• 作者: MA;Shouhei;Shouhei Ma
• 通讯作者: Shouhei Ma

On the 0-dimensional cusps of the Kahler moduli of a K3 surface

在 K3 表面卡勒模量的 0 维尖点上

• 发表时间: 2010
• 期刊: Mathematische Annalen
• 影响因子: 1.4
• 作者: MA;Shouhei
• 通讯作者: Shouhei

On K3 surfaces which dominate Kummer surfaces

在主导 Kummer 曲面的 K3 曲面上

• DOI: 10.1090/s0002-9939-2012-11302-4
• 发表时间: 2013
• 期刊: Proceedings of the American Mathematical Society
• 影响因子: 1
• 作者: Tatsuhiko N. Ikeda;Yu Watanabe;Masahito Ueda;Shouhei Ma
• 通讯作者: Shouhei Ma

The rationality of the moduli spaces of trigonal curves of odd genus

奇数亏格三角曲线模空间的合理性

• DOI: 10.1515/crelle-2012-0003
• 发表时间: 2013
• 期刊: Journal fur die reine und angewandte Mathematik
• 影响因子: 1.5
• 作者: Tomoyuki Suzuki;and Hidemitsu Wadade;S. Ma
• 通讯作者: S. Ma