K3曲面の幾何学

K3表面的几何形状

• 批准号: 09J00978
• 负责人: 馬 昭平
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2011
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09J00978/
• 关键词: K3曲面; 非シンプレクティック自己同型; 有理性問題; SL(2); non-symplectic対合; trigonal曲線; モジュライ空間; 有理多様体; twisted Fourier-Mukaiパートナー; Kahlerモジュライ; 有理写像; Kummer曲面; 塩田-猪瀬構造; Abel曲面; 塩田-三谷の公式

本年度はまず対合付きK3曲面のモジュライ空間の有理性に関する論文の執筆に力を注いだ。この原稿は10月に完成し、現在投稿中である。対合付きK3曲面のモジュライ空間は全部で75個あるが、そのうち67個が有理的であることを論文では証明している。その証明はケースバイケースで行うので冗長になりがちだが、私はそのうちのある部分(周期写像の次数の計算)を系統的に整理することで論文の長さを短くできた。こうして整理して抽出した周期写像の次数計算の方法は将来の研究にも広く利用できるものである。上記原稿完成後プレプリントサーバのarXivに発表したところ(arXiv:1110.5110)すぐに反響があり、すでにいくつかの論文で引用されている。上記論文の執筆と並行して位数3の非シンプレクティック自己同型付きK3曲面のモジュライについても同様の研究を行った。すると総計24個のモジュライが全て単有理的で、そのうち20個が有理的であることが証明できた。研究の過程でそのようなK3曲面の構成方法として「混成分岐」という概念も考案した。これは有理数係数の因子をうまく利用して異なる次元の不動点集合を扱う概念である。そのようなK3曲面の研究を豊かにすると見込まれる。また、上記論文に関連して吉川謙一氏にいくつかの対合付きK3曲面のモジュライ空間のテータ零値因子について質問を受けたので、それに応えてそれらのテータ零値因子を明示的にHeegner因子として決定した。また、より一般に代数群の商空間の有理性問題を探求し、2変数特殊線形群2つの積の既約表現を考察してそのうちの約7割について不変式体が有理的であることを証明した。これはそのうちの一部の場合についてのShepherd-Barron氏の研究を大幅に拡張するとともにより簡明な別証明を与えている。証明で鍵となった論法はより一般に直積群の表現に対しても適用できるもので、今後の応用が見込まれる。

今年，我首先专注于写一篇关于成对 K3 曲面模空间合理性的论文。稿件于10月份完成，目前正在提交。成对的 K3 曲面共有 75 个模空间，论文证明了其中 67 个是有理数。证明往往很长，因为它是根据具体情况完成的，但我能够通过系统地组织某些部分（计算周期图的顺序）来缩短论文的长度。以这种方式组织和提取的周期图的阶数计算方法可以在未来的研究中广泛使用。完成上述手稿后，我将其发布在预印本服务器arXiv（arXiv：1110.5110）上，立即得到了回应，并且已经在几篇论文中被引用。在撰写上述论文的同时，我对具有 3 阶非辛自同构的 K3 曲面的模进行了类似的研究。然后，我们可以证明总共 24 个模都是无理数，其中 20 个模是有理数。在我的研究过程中，我还设计了“混合分叉”的概念作为构建此类 K3 曲面的方法。这是一个利用有理系数因子来处理不同维度的定点集的概念。预计这项研究将丰富此类 K3 表面的研究。另外，结合上述论文，我收到了 Kenichi Yoshikawa 关于某些具有配对的 K3 曲面模空间的 theta 零值因子的问题，因此作为回应，我明确地将这些 theta 零值因子转换为 Heegner 因子决定为。我们还更广泛地探讨了代数群的商空间的有理性问题，考虑了两个变量的两个特殊线性群的乘积的不可约表示，并证明了其中约 70% 的不变域是有理数的。这极大地扩展了 Shepherd-Barron 在其中一些案例上的工作，并提供了更简单的替代证明。证明中的关键论点也可以更广泛地应用于直接乘积组的表示，并且有望在未来得到应用。

项目成果

対合付きK3曲面のモジュライの有理性

配对K3曲面模量的合理性

• 发表时间: 2012

Twisted Fourier-Mukai number of a K3 surface

K3 表面的扭曲 Fourier-Mukai 数

• 发表时间: 2010
• 期刊: Transactions of the American Mathematical Society 362
• 作者: MA;Shouhei;Shouhei Ma
• 通讯作者: Shouhei Ma

On the 0-dimensional cusps of the Kahler moduli of a K3 surface

在 K3 表面卡勒模量的 0 维尖点上

• 发表时间: 2010
• 期刊: Mathematische Annalen
• 影响因子: 1.4
• 作者: MA;Shouhei
• 通讯作者: Shouhei

On K3 surfaces which dominate Kummer surfaces

在主导 Kummer 曲面的 K3 曲面上

• DOI: 10.1090/s0002-9939-2012-11302-4
• 发表时间: 2013
• 期刊: Proceedings of the American Mathematical Society
• 影响因子: 1
• 作者: Tatsuhiko N. Ikeda;Yu Watanabe;Masahito Ueda;Shouhei Ma
• 通讯作者: Shouhei Ma

The rationality of the moduli spaces of trigonal curves of odd genus

奇数亏格三角曲线模空间的合理性

• DOI: 10.1515/crelle-2012-0003
• 发表时间: 2013
• 期刊: Journal fur die reine und angewandte Mathematik
• 影响因子: 1.5
• 作者: Tomoyuki Suzuki;and Hidemitsu Wadade;S. Ma
• 通讯作者: S. Ma