力学系における微分ガロア理論の新展開

动力系统微分伽罗瓦理论的新进展

• 批准号: 09F09222
• 负责人: 矢ヶ崎 一幸
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: Niigata University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09F09222/
• 关键词: 国際研究者交流; 力学系; 微分ガロア理論; ホモクリニック軌道; 分岐; 固有値問題; メルニコフの方法

前年度に引き続き,幾何学的および代数学的アプローチを用いて,微分ガロア理論の力学系に対する応用について理論的研究を行った.まず,可逆的な常微分方程式系において,ホモクリニック軌道のサドル・ノードおよびピッチフォーク分岐がある非退化条件の下で起こるとき,ホモクリニック軌道の変分方程式が微分ガロア理論の意味で可積分となることを証明した.次に,前年度に得られたストゥルム・リウビル問題に対する結果を一般化し,アレン・カーン方程式と呼ばれる偏微分方程式の進行フロント解の線形安定性を解析し,これまでに知られていなかった固有値が求められた.また,これら2つの理論結果に対して具体的な適用例を示し,さらに数値計算結果と比較し検討するなどして,それらの有効性を明らかにし,微分ガロア理論を用いた,常微分方程式のホモ/ヘテロクリニック軌道に対する新しい分岐解析手法を確立した.偏微分方程式のソリトン,パルスおよびフロント解が,常微分方程式のホモ/ヘテロクリニック軌道で表わされる多くの場合があり,得られた結果はこれらの解の分岐や線形安定性に直接応用することが可能で,非線形偏微分方程式の分野においても非常に重要である.さらに,不変多様体を有するハミルトン系に対して,微分ガロア理論により可積分性を解析するMorales-Ramis理論の拡張とそのカオス現象との関連性について論じた.本研究により,力学系にとどまらずより広い数学および応用科学の分野における微分ガロア理論の有用性がさらに高められた.

在上一年之后，我们对使用几何和代数方法将差异性Galois理论应用于机械系统的应用进行了理论研究。首先，我们证明，同层轨道的变异方程是在差异式旋律理论的意义上集成的，当它们在可逆的普通微分方程系统中具有鞍源节点和鞍形轨道分支的非分类条件下发生。接下来，我们概括了上一年获得的Sturm-riuvir问题的结果，并分析了称为Allen-Khan方程的部分微分方程的进程前溶液的线性稳定性，并找到了以前未知的特征值。我们还向这两个理论结果提供了一个具体的应用示例，并进一步比较并检查了数值计算的结果。我们已经建立了一种使用差异GALOIS理论的普通微分方程的同型/异斜轨迹的新分叉分析方法。在许多情况下，偏微分方程的孤子，脉冲和前溶液在普通微分方程的同型/异斜轨迹中表达，并且获得的结果可以直接应用于这些溶液的分支和线性稳定性，从而使它们在非线性偏微分方程领域中极为重要。此外，我们讨论了Morales-Ramis理论的扩展，该理论使用差异性Galois理论分析了具有不变歧管的汉密尔顿系统的可集成性，及其与混沌现象的关联。这项研究进一步增强了差异galo理论在更广泛的数学和应用科学领域，而不仅仅是在机械方面。