力学系における微分ガロア理論の新展開

动力系统微分伽罗瓦理论的新进展

• 批准号: 09F09222
• 负责人: 矢ヶ崎 一幸
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: Niigata University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09F09222/
• 关键词: 国際研究者交流; 力学系; 微分ガロア理論; ホモクリニック軌道; 分岐; 固有値問題; メルニコフの方法

前年度に引き続き,幾何学的および代数学的アプローチを用いて,微分ガロア理論の力学系に対する応用について理論的研究を行った.まず,可逆的な常微分方程式系において,ホモクリニック軌道のサドル・ノードおよびピッチフォーク分岐がある非退化条件の下で起こるとき,ホモクリニック軌道の変分方程式が微分ガロア理論の意味で可積分となることを証明した.次に,前年度に得られたストゥルム・リウビル問題に対する結果を一般化し,アレン・カーン方程式と呼ばれる偏微分方程式の進行フロント解の線形安定性を解析し,これまでに知られていなかった固有値が求められた.また,これら2つの理論結果に対して具体的な適用例を示し,さらに数値計算結果と比較し検討するなどして,それらの有効性を明らかにし,微分ガロア理論を用いた,常微分方程式のホモ/ヘテロクリニック軌道に対する新しい分岐解析手法を確立した.偏微分方程式のソリトン,パルスおよびフロント解が,常微分方程式のホモ/ヘテロクリニック軌道で表わされる多くの場合があり,得られた結果はこれらの解の分岐や線形安定性に直接応用することが可能で,非線形偏微分方程式の分野においても非常に重要である.さらに,不変多様体を有するハミルトン系に対して,微分ガロア理論により可積分性を解析するMorales-Ramis理論の拡張とそのカオス現象との関連性について論じた.本研究により,力学系にとどまらずより広い数学および応用科学の分野における微分ガロア理論の有用性がさらに高められた.

继续上一年，我们利用几何和代数的方法开展了微分伽罗瓦理论在动力系统中的应用理论研究。首先，在可逆常微分方程组中，鞍形轨道和同宿轨道下发生节点和干草叉分岔时在非简并条件下，同宿轨迹的变分方程在微分伽罗瓦理论意义上是可积的。接下来，我们概括了前一年获得的 Sturm-Liouville 问题的结果，并分析了称为 Allen-Cahn 方程的偏微分方程的渐进前沿解的线性稳定性，其中之前尚未确定的特征值是。我们还展示了这两个理论结果的具体应用实例，并与数值计算结果进行了比较和讨论。我们阐明了有效性，并利用微分伽罗瓦理论建立了一种新的常微分方程同斜/异斜轨道分岔分析方法。临床轨迹代表了许多情况，所获得的结果可以直接应用于这些的分岔和线性稳定性。解以及非线性偏差。它在微分方程领域也非常重要。此外，我们将讨论莫拉莱斯-拉米斯理论的扩展，该理论使用微分伽罗瓦理论分析具有不变流形的哈密顿系统的可积性，及其与混沌现象的关系。进一步增强了微分伽罗瓦理论的实用性，不仅在动力系统中，而且在更广泛的数学和应用科学领域。