非線形シュレディンガー方程式の対称性と定在波解の安定性について

非线性薛定谔方程的对称性与驻波解的稳定性

基本信息

批准号：
08J56371
负责人：
前田昌也
金额：
$ 1.15万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は非線形分散型偏微分方程式を含む一般のハミルトン方程式の定在波解の軌道安定性についての研究を行った。ハミルトン方程式の定在波解の軌道安定性はGrillakis-Shatah-Straussにより研究された。彼らは定在波解の近傍の作用汎関数の形状を作用汎関数をTaylor展開することにより調べた。作用汎関数はハミルトン方程式の保存量であるのでこれを使うことにより安定性を解析することができる。私は定在波解の近傍に曲がった座標を導入することによりTaylor展開を行わず作用汎関数の形状を調べる方法を発見した。これによりGrillakis-Shatah-Straussの定理では示すことのできなかった臨界周波数(安定な周波数と不安定な周波数の境界の周波数)を含む退化した場合での定在波解の安定性不安定性の判定条件を得ることができた。また私の定理の応用としてべき乗方の非線形Klein-Gordon方程式の基底状態解の臨界周波数での不安定性を示すことができる。臨界周波数の不安定性は2次元以上の場合、Ohta-Todorovaによって、1次元でべきが2以上の場合はComech-Pelinovskyの定理の応用により示すことができるが、1次元でべきが2より小さい場合は未解決であった。本研究により非線形分散型偏微分方程式の基底状態解の軌道安定性の"ほぼ"必要十分である判定条件が得られ基底状態解の安定性についての理解が深まった。

今年，我们研究了一般汉密尔顿方程（包括非线性分散偏微分方程）的常常浪解决方案的轨道稳定性。 Grillakis-Shatah-Strauss研究了汉密尔顿方程式的轨道稳定性。他们通过扩展泰勒的动作功能，研究了在驻波解决方案附近的动作功能的形状。动作功能是保守的汉密尔顿方程，可用于分析稳定性。我发现了一种方法来研究功能作用的形状，而不执行泰勒膨胀，通过在驻波溶液附近引入弯曲坐标。这使我们能够获得在退化的情况下确定驻波溶液稳定性的条件，包括临界频率（稳定频率和不稳定频率之间的边界处的频率），这是Grillakis-Shatah-Strauss trauss Therorem无法显示的。同样，作为我定理的应用，我可以在功率非线性klein-gordon方程的基态解决方案的临界频率下显示不稳定性。 OHTA-TODOROVA在2及以上可以显示临界频率的不稳定性，并且当功率在一个维度上为2或更高时，可以通过Comech-Pelinovsky的定理应用，但是当功率在一个维度中的功率为2或以上时尚未解决。这项研究提供了确定“几乎必要”的非线性分散偏微分方程的地面溶液的轨道稳定性，并加深了我们对地面溶液稳定性的理解。