超離散可積分系と組み合わせ的表現論

超离散可积系统和组合表示理论

• 批准号: 25800026
• 负责人: 坂本 玲峰
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: Tokyo University of Science
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2013
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2013-04-01 至 2017-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-25800026/
• 关键词: 艤装配位; 結晶基底; ベーテ仮説法; ハイゼンベルグ模型; XXX模型; スピン系; 箱玉系

本年度はベーテ仮説法の基礎付けに関する研究を行った。ベーテ仮説法とは量子力学が建設途上であった1931年に量子多体系に対する数学的理論を構成することを目的として登場したハンス・ベーテ（ノーベル物理学賞受賞者）による有名な論文で導入された。当初は磁性体の理論の最も基本的なモデルである一次元ハイゼンベルグ模型（またはXXX模型）の厳密解を与える理論であり、その後８０年以上の間C.N.YangやL.D.Faddeevをはじめとする錚々たる研究者達によって理論が深められてきた。しかしながら一番最初にベーテが扱った場合においてすら、ベーテ本人が原論文ですでに指摘していたように、物理的な状態が構成できない場合が存在するという深刻な困難が存在し、長年の間解決の糸口すらつかめない混乱した状況が続いていた。この問題について昨年Nepomechie等がXXX模型の失われた物理的状態を回復するための鍵となる枠組みを提案した。これまでも同様の趣旨の提案は数多く存在したが、筆者は京大数理研のKirillov氏と共同でベーテ方程式の解を本格的に検討した結果、今回の提案が艤装配位と呼ばれる数学的構造を持っていることを発見し、従って本質的進展と判断してよいことを指摘した。その帰結としてこれまで全く不明であったベーテ方程式の解の個数について現状の数値計算の結果を全て再現する予想を見出し、ベーテ仮説法の理論的基礎付けに対する貢献を行った。そのほかに本年度は艤装配位写像と結晶基底に関する研究を行った。本研究課題開始以前に行った研究で与えた柏原作用素と艤装配位写像の可換性の証明につき、専門誌掲載時の審査員の指摘により証明の不備を正した。またD型Kirillov-Reshetikhinクリスタルに対する艤装配位写像の構成について研究を継続し、重要な進展をあげたが、年度内には完成できず継続して研究を行うこととなった。

今年，我们对贝特假设法的基础进行了研究。贝特假说法是1931年诺贝尔物理学奖获得者汉斯·贝特在一篇著名论文中提出的，当时量子力学还在建设之中，目的是构建量子多体系统的数学理论。最初，它是一个为磁性材料理论中最基本的模型一维海森堡模型（或XXX模型）提供精确解的理论，80多年来一直是广泛研究的主题。 C.N. Yang、L.D. Faddeev 等人的研究对该理论进行了深化。然而，即使在贝特首先处理的情况下，正如贝特本人在他的原始论文中已经指出的那样，也存在严重的困难，因为存在无法构建物理状态的情况，并且多年来这种情况持续存在令人困惑，没有解决方案的线索。针对这个问题，去年Nepomechie等人提出了一个关键框架来恢复XXX模型丢失的物理状态。尽管过去有很多具有类似目的的提案，但作者与京都大学数学科学研究所的基里洛夫先生合作，对贝特方程的解进行了全面的研究，并提出了目前的提案基于一种称为索具配置的数学结构，他发现该系统具有以下特征，并指出它因此可以被判断为一个本质性的进步。结果，我们发现了一个猜想，它再现了迄今为止完全未知的贝特方程解数的当前数值计算的所有结果，并为贝特假设方法的理论基础做出了贡献。另外，今年我们还进行了舾装协调图和水晶基础的研究。对于在本研究项目开始前进行的研究中给出的橿原算子交换性证明和舾装配置图，证明中的缺陷已按照专业期刊上发表时审稿人所指出的那样进行了纠正。我们还继续研究D型基里洛夫-列舍季欣晶体索具构型图的构建，并取得重要进展，但年内没有完成，所以我们决定继续研究。

项目成果

Rigged Configurations

操纵配置