絡み目の様々な不変量の研究

链接各种不变量的研究

• 批准号: 06J05804
• 负责人: 張 庚瑜 (2006, 2008)
• 金额: $ 1.79万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2006
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2006 至 2008
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06J05804/
• 关键词: 結び目; crosscap数; 種数; 結び目同境; 同境crosscap数; 4次元種数; Khovanov不変量; 結び目Floerホモロジー; Khovanovホモロジー

2008年4月から9月特別研究員辞退までの間、博士論文のまとめや研究結果の発表などに力を入れておりました.4月にデンマーク・オーフス大学の「トポロジーとモジュライ空間の量子化センター」(Center for the Topology and Quantization of Moduli Spaces)において、'Concordance Crosscap Number of a Knot'と題した発表を行いました.また、7月に中国・大連理工大学の雷逢春教授に招待され、小研究集会「Low dimensional Topology」にて、初心者の学生を対象にし、結び目のcrosscap数についての全体講演を行いました.ここでいうcrosscap数というのは、結び目(3次元球面の中に埋め込まれた円周)を境界とする、向き付けられない曲面の最小の1次元Betti数のことです.また、concordanceとは結び目同境の意味で、2つの結び目が3次元球面と単位区間の直積空間の中に埋め込まれた円環の境界になっているときに同値とみなした同値類のことです.ですから'concordance crosscap number'(同境crosscap数)は、結び目同境という同値類の下でのcrosscap数の最小を表します.これは、4次元crosscap数(4次元球体内で張れる向き付けられない曲面の最小1次元Betti数)とよく似た概念です.結び目Kのcrosscap数をγ(K)、4次元crsosscap数をγ*(K),同境crosscap数をγc(K)と書くことにすると、定義から不等号「γ*(K)≦γc(K)≦γ(K)」が成り立ちます.私は、これらの不等号の等号が成り立たないことを、具体例を無限個与えることで示しました.上述の3種類のcrosscap数の定義で、「向き付けられない」を「向き付ける」に替えると、よく知られた結び目の種数、4次元種数、同境種数になり、これまでにその性質や計算方法がよく研究されてきました.特に、近年結び目Floerホモロジーという2重次数を持つホモロジー理論(その「次数付き」オイラー標数がAlexander多項式を与えることから、Alexander多項式の圏化と呼ばれています)を利用すると、結び目の種数は原理的には厳密に計算可能であることが知られています.また,Jones多項式の圏化であるKhovanov不変量を用いて、4次元種数に関する難問であったMilnor予想が組み合わせ的に解決されました(ゲージ理論を使った証明は知られていました).これに対して、crosscap数に関する研究は数えるほどしかなく、私の研究はこの方面での先駆けとなりうるものだと信じています、特に、同境crosscap数については、結び目同境理論の世界的権威である米国・Indiana大学教授C.Livingston氏のウェブサイト「Knot Info」(韓国POSTECH准教授のJ.C.Cha氏との共同運営)にも紹介されました.また、オーフス大学におけるこの結果に関する上記の発表には、米国・Indiana大学教授K.Orr氏が出席されており、「大変に良い講演であった」との感想を私の指導教員であった村上先生から伺えたのは望外の喜びでした.

从2008年4月到9月的特别研究人员的下降，他的重点是总结他的博士学位论文并提出他的研究结果。 4月，他在丹麦奥尔胡斯大学（Aarhus University）的模量空间中心的中心和量化中心进行了题为“一致的结数”。 7月，他被邀请到中国达利安理工大学的Lei Fengchun教授参加“低维度”的小型研究会议。在“拓扑”中，我们对初学者的横向景观数量进行了一般性演讲。这里的交叉盖数是指由结界的最小1D贝蒂数量的无向弯曲表面（围在三维球中的圆周）。一致性是指结的相同边界，并且是一类等效值，当两个节在三维球之间和嵌入单位截面的直接产物空间内的环之间时，它们被认为相等。因此，“一致性交叉盖号”（相同边界的交叉盖号）表示在同一类打结下的交叉盖数最小数。 This is a concept similar to the 4-dimensional crosscap number (the smallest 1-dimensional Betti number of undirected surfaces that are held within a 4-dimensional sphere).If we write the crosscap number of knots K as γ(K), the 4-dimensional crsosscap number as γ*(K), and the γc(K) ,The inequality sign "γ*(K)≦γc(K)≦γ(K)" holds from the definition.I have shown that these inequality signs do not hold by giving infinite number of concrete examples.In the definition of the three types of crossscap numbers, "unoriented" is replaced with "orientation", and the well-known knot number, four-dimensional number, and the number of homogenous species, and their properties and calculation methods have尤其是近年来，使用了具有双重同源性的结式同源性理论（这被称为亚历山大多项式的球体化，因为它的“有序”欧拉的措施都可以使亚历山大多项式物质可以原则上计算出亚历山大的多项式。此外，使用Khovanov不变的琼斯多项式的球体，Milnor预测是关于四维物种数量的一个困难问题（已知使用仪表理论的证明）。相比之下，关于交叉盖数字的研究只有少数研究，我认为我的研究可能是该领域的先驱。特别是，关于交叉盖数字，网站“结”是由美国印第安纳大学教授C. Livingston教授C. Livingston教授（全球统一理论的全球管理局）。信息（与韩国Postech副教授J.C. Cha合作）。另外，美国印第安纳大学的教授K. Orr也是我的主管穆拉卡米教授参加的，他听到这是一个很好的演讲。

项目成果

Crosscap Numbers of Two-component Links

二元链接的 Crosscap 数量

• 发表时间: 2008
• 期刊: Kyungpook Mathematical Journal 48
• 作者: Y. Nakajima;K. Sakamaki;E. Takahashi;Y. Fukai;T. Suzuki;K. Funakoshi;Gengyu Zhang
• 通讯作者: Gengyu Zhang

Concordance crosscap number of a knot

• DOI: 10.1112/blms/bdm058
• 发表时间: 2006-08
• 期刊: Bulletin of the London Mathematical Society
• 影响因子: 0.9
• 作者: G. Zhang