結晶のスパイラル成長を表す数理モデルの研究

晶体螺旋生长数学模型的研究

• 批准号: 17740091
• 负责人: 大塚 岳
• 金额: $ 1.98万
• 依托单位: Sophia University (2007)The University of Tokyo (2005-2006)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2005
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2005 至 2007
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17740091/
• 关键词: 平均曲率流方程式; Allen-Cahn 方程式; 粘性解; 等高線法; 最適制御; 反応拡散方程式; 特異極限; 結晶成長; 界面現象

今年度はスパイラル成長を表す等高線方程式とAllen-Cahn型方程式の同一性に付いての研究、曲線の挙動、形状に関する研究を行った。Allen-Cahn型方程式モデルと等高線方程式モデルの同一性に関する研究では、円環領域における渦巻曲線の運動を表す幾何モデルの解を、集合的な視点から定式化することに成功した。本手法は非凸領域において平均曲率流方程式にNeumann境界条件を課した境界値問題とAIler-Cahn方程式の同一性を示す理論で提唱されたものである。この理論を用いれば本研究の目的は達っせられ、その目処は立ったと考えるが、今年度では両者の解の関係を示す最終的な結論を得るには至らなかった。今後の研究でこれを示し、またより一般的な状況への拡張を行い、論文として発表する予定である。挙動と形状の研究において、曲線が束になって動く束化現象について考察するため、Allen-Cahn型方程式の特異極限からそれぞれ運動方程式の異なる二つの界面が得られる状況を考察した。本研究ではとくに、駆動力が界面ごとに異なる状況を設定した。その結果、界面同士が衝突しない状況下では、AIlen-Cahn型方程式から得られる界面の特異極限がそれぞれ別の平均曲率流方程式にしたがって動く界面に収束することが証明された。これまでの研究と比べて二つの異なる運動を示す界面が発生することが新しいと考える。今後はこの成果を元に、束化現象を引き起こす状況での研究を行いたいと考えている。挙動の研究中に界面の挙動を制御する問題に興味を持ち、最適制御問題を研究した。その結果、特異拡散と解の値に制限を持つAIlen-Cahn型方程式において、最適制御の存在と-意性、その最適制御の計算アルゴリズムなどが得られた。

今年，我们对代表螺旋生长和艾伦 - 卡恩型方程的轮廓方程的身份以及曲线的行为和形状进行了研究。在一项关于Allen-CaHn型方程模型和轮廓方程模型的身份的研究中，我们成功地从集体角度从环形区域中代表了螺旋曲线在环形区域中运动的几何模型的解决方案。该方法是在显示边界值问题和AILER-CAHN方程的理论中提出的，该方程将Neumann边界条件强加于非凸区域的平均曲率流动方程。使用该理论，我们认为这项研究的目的可以实现，这是一个明确的目标，但是今年我们尚未得出最终的结论，该结论显示了两种解决方案之间的关系。这将在未来的研究中显示，并将扩展到更一般的情况，并作为论文发表。在对行为和形状的研究中，我们考虑了曲线作为束束移动的束现象，并且我们考虑了可以从Allen-CaHn型方程的单数极限获得两个具有不同运动方程的接口的情况。特别是在这项研究中，驱动力在不同的界面处有所不同。结果，事实证明，在接口不相互碰撞的情况下，从ailen-cahn方程获得的接口的奇异限制会收敛到根据不同平均曲率流动方程移动的接口。人们认为，表现出两种不同动作的界面的产生比以前的研究更新。将来，我们想利用这些结果在导致捆绑现象的情况下进行研究。在行为研究中，我对控制界面行为的问题感兴趣，并研究了最佳控制问题。结果，在ailen-cahn型方程中获得了最佳控制的存在和意图，以及用于计算最佳控制的算法，该方程对单数扩散和溶液值有限制。

项目成果

Uniqueness and existence of generalized motion for spiral crystal growth

螺旋晶体生长广义运动的唯一性和存在性

• 期刊: Indiana University Mathematics Journal (受理済み)
• 作者: S.;Goto・M.;Nakagawa・T.;Ohtsnka
• 通讯作者: Ohtsnka

Uniqueness and existence of evolutions for spirals by a curvature flow equation with a driving force

带驱动力的曲率流方程螺旋演化的唯一性和存在性

• 发表时间: 2008
• 作者: Y.Giga;T.Ohtsuka;R.Schatzle;大塚岳;大塚岳
• 通讯作者: 大塚岳

Numerical simulations for optimal controls of Allen-Cahn type equations with constraint

带约束的Allen-Cahn型方程最优控制的数值模拟

• 发表时间: 2007
• 作者: T.;Ohtsuka
• 通讯作者: Ohtsuka

駆動力付き曲率流の等高線方程式による渦巻曲線の運動の一意性

由带驱动力的曲率流轮廓方程解螺旋曲线运动的唯一性

• 发表时间: 2007
• 作者: 後藤俊一;中川真紀;大塚岳
• 通讯作者: 大塚岳

Optimal control of a singular diffusion equation with constraint

带约束的奇异扩散方程的最优控制

• 发表时间: 2008
• 期刊: Advances in Mathematical Sciences and Applications 18
• 作者: T.Ohtsuka;K.Shirakawa and N. Yamazaki
• 通讯作者: K.Shirakawa and N. Yamazaki