特異摂動の方程式に対するWKB解析

奇异摄动方程的 WKB 分析

基本信息

批准号：
05740092
负责人：
竹井義次
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1993
资助国家：
日本
起止时间：
1993 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740092/
关键词：
WKB解析 Painleve方程式モノドロミ-保存変形接続公式 Stokes現象

项目摘要

今年度は、主としてWKB解析の立場からのPainleve方程式の研究を行った。まず、Painleve方程式に対して、(大きなパラメータに関する)形式巾級数解のみならず指数函数型の摂動項を持った形式解が存在することが見い出された。これらはいずれも、線型方程式の場合のWKB解に相当するものである。特に、後者の形式解を用いて、最も簡単なPainleveI型の方程式について、形式巾級数解の接続公式(即ち、Stokes曲線を越えた場合に起こるStokes現象を記述する公式)を具体的に表現することが可能になった。更に、他のPainleve方程式に対しては、その形式巾級数解とPainleveI型方程式の形式巾級数解との間にある種の変換論が成立することが示された。その証明において、Painleve方程式と線型方程式のモノドロミ-保存変形との関連が本質的な役割を演じている。この変換論(あるいはその精密化)を利用すれば、全てのPainleve方程式について形式巾級数解の接続公式を決定することが可能であろうと期待される(現在、研究が進展中)。いずれにしろ、“Painleve方程式に対するWKB解析"という理論の枠組は、ほぼ明らかになったと考えて良いと思われる。他方、Painleve方程式の一般解をWKB解析の視点から取り扱うこと、特にその接続公式を求めること等、残された課題も少なくない。これに関して、現在、モノドロミ-保存変形との関連に基づいて、PainleveI型方程式についてその一般解の第一積分を近似的に求めたKapaevの仕事の精密化に取り組んでおり、ほぼ成功したといえる段階である。これがどういう重要性を持つのか、現時点ではまだ明らかではないが、少なくとも上述の問題、更には(そこで必要となる二重変わり点を持った線型方程式の解析を通じて)WKB解析の理論の基礎づけに対しても、何らかの進展がもたらされたことは間違いないであろう。

今年我们主要从WKB分析的角度研究Painleve方程。首先，我们发现 Painleve 方程不仅有形式的震级级数解（对于大参数），而且有带有指数摄动项的形式解。所有这些都对应于线性方程的 WKB 解。特别是，使用后一种形式解，我们将最简单的Painlevel I型方程的形式可拓级数解的连接公式（即描述斯托克斯曲线相交时发生的斯托克斯现象的公式）具体表达为。可能的。此外，对于其他Painleve方程，表明Painleve方程的形式震级级数解和Painleve I型方程的形式震级级数解之间存在一种变换理论。在证明中，Painleve方程和线性方程的单性保持变换之间的关系起着至关重要的作用。预计通过使用这种变换理论（或其改进），将有可能确定所有 Painleve 方程的形式可拓级数解的连接公式（目前研究正在进行中）。无论如何，可以认为“Painleve方程的WKB分析”的理论框架已经基本明确。另一方面，仍然存在许多问题，例如如何从WKB分析的角度处理Painleve方程的通解，特别是如何找到其连接公式。在这方面，我们目前正在对 Kapaev 的工作进行细化，该工作基于与单向保持变形的关系，逼近 Painlevel I 型方程通解的第一个积分，我们正处于这样一个阶段：我们几乎已经成功了。目前还不清楚这有什么意义，但至少对于上述问题，以及WKB分析的理论基础（通过那里需要的具有双拐点的线性方程的分析）来说，但是，毫无疑问，已经取得了一些进展。