シュレディンガー発展方程式の解の構造と測地流の大域的挙動

薛定谔演化方程解的结构与测地流的全局行为

基本信息

批准号：
14740110
负责人：
土居伸一
金额：
$ 2.11万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

シュレディンガー発展方程式は電磁場中の粒子の非相対論的運動を記述する基礎方程式であり、その解作用素の写像性質・解の特異性の構造を解析することは基本的な問題である。本年度も昨年度に引き続き、シュレディンガー作用素の副主表象が解の特異性に及ぼす影響を解明することを目指し、そのモデルとして実2次多項式のポテンシャルを持つシュレディンガー作用素に摂動ポテンシャルを加えたものを取り上げ、その解の特異性の構造変化を研究した。そして摂動ポテンシャルの増大度が丁度1次の場合に、適当な付加条件のもとで、摂動ポテンシャルにより解の強い特異性が有限伝播することを証明した。またすべてのオーダーの特異性が有限伝播するような、解の特異性の方向を決定した。一般に弱い特異性は有限伝播せず、たとえ摂動ポテンシャルがコンパクト台をもつ滑らかな関数であっても、非等方的振動と摂動ポテンシャルとの相互作用により、超平面に沿って新たな弱い特異性が生じる場合があることがわかっている。そこで新たに生成される弱い特異性の現れる場所を上からの評価する方法を考察し、解の特異性の方向ごとに相空間を粗くして考えることにより、弱い特異性の粗い意味での有限伝播が成り立つことを示した。この上からの評価を精密化し、また弱い特異性の構造を解析することは今後の課題である。

薛定谔演化方程是描述电磁场中粒子非相对论运动的基本方程，分析其解算子的映射性质和解的奇点结构是一个基本问题。继去年之后，今年我们的目标是阐明薛定谔算子的次主表示对解奇点的影响，作为模型，我们将使用具有实二次多项式势和微扰势势的薛定谔算子研究了解奇点的结构变化。然后，当扰动势的增加程度恰好是一阶时，我们证明了在适当的附加条件下，由于扰动势，解的强奇异性是有限传播的。我们还确定了解的奇点方向，以便奇点的所有阶都有限地传播。一般来说，弱奇点不会无限传播，即使扰动势是具有紧支撑的平滑函数，各向异性振荡和扰动势之间的相互作用也会沿着超平面产生新的弱奇点。众所周知，这可能会发生。因此，通过考虑一种从上方评估新生成的弱奇异点出现位置的方法，并通过粗化解的奇异点的每个方向的相空间，我们可以解决弱奇异点粗略意义上的有限性问题。奇点性已被证明传播是可能的。未来的任务包括完善上述评估和分析结构，其特异性较弱。