一般バーンサイド環と一般素数グラフによる群の構造の解明

使用一般伯恩赛德环和一般素数图阐明群的结构

• 批准号: 14740016
• 负责人: 飯寄 信保
• 金额: $ 1.86万
• 依托单位: Yamaguchi University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14740016/
• 关键词: 有限群; 単純群; バーンサイド環; 部分群束; 自由群; 素数グラフ; 群表現論; 群の基本関係

一般素数グラフの基本定理として阿部-飯寄によって素数グラフにおけるGruenberg-Kegelタイプの定理、及び、素数同士の連結状態を調べた結果が与えられている。本研究の目的は、更に一般素数グラフとその周辺の現象を調べることにより群の構造を明らかにすることであった。グラフの形状による一般素数グラフの考察として、「偶数位数の有限群が、その位数をFermat素数$r$で整除されれば、$pi(H)={2,r}$を満たす可解部分群$H$をもつ。また、この逆も成立する。」等を示した。また、群論的性質$P$についての一般素数グラフに対応する$P$-部分群の為す束から得られる自然な代数の$G$の作用による不変部分環として、一般バーンサイド環を得ることが出来るが、そのバーンサイド環のイデアルによる分解が一般素数グラフの連結性に強く結びついていることを示した。このように、有限群の部分群束が一般素数グラフの本質であり、その一種の普遍量のようなものであることを見いだし、更に、部分群束を通して、表現論特にバーンサイド環の理論と深く結びついていることを明らかにした。後半においては、部分群束の幾何的構造にスポットライトをあてビルディングの理論からの歩み寄りを模索した。その結果、多くの群の構造を得る基本的な部分群束は、アーベル部分群からなる部分群束であることがわかった。この部分群束のハッセダイアグラムは、群のCommuting Graphと兄弟のような関係であるが、微妙な差があり、その差は群の構造を特徴付けるものであることが明らかになってきた。例えば、Commuting graphによって$A_5$は、完全には特徴付けられないが、ハッセダイアグラムの方では可能である。しかし、巡回群をハッセダイアグラムで特徴づけをすることが出来ない。両者をあわせて初めて完全な特徴づけが可能になる。このようなこが成立することを小さな単純群について成立することを示した。

一般素数图的基本定理由ABE-IIYORO给出，该图在主要图中检查了Gruenberg-Kegel型定理，以及质数的串联态。这项研究的目的是通过检查一般的素数及其周围现象，进一步阐明群体的结构。作为基于图形形状的一般素数的考虑，我们表明：“如果将有限的均匀端口分为费马特素数$ r $，则它具有满足$ pi（h）= {2，r} $的可解决的子组$ h $。此外，相反的是。” Furthermore, a general burnside ring can be obtained as an invariant subcycle due to the action of the natural algebra of $G$ obtained from the bundles of $P$-subgroups corresponding to the general prime graph for the group-theoretical property $P$, and it has been shown that the decomposition of the burnside ring by the ideal is strongly linked to the connectivity of the general prime graph.因此，我们发现有限基团的亚组捆绑包是一般质量图的本质，就像一种通用数量，此外，通过亚组捆绑包揭示了它与表示理论，尤其是伯恩赛德环理论。下半年，我们聚焦了亚组束的几何结构，并试图从建筑理论中转移。结果表明，获得许多组结构的基本亚组束是由亚伯子组组成的亚组束。该亚组捆绑式哈斯图与该组的通勤图具有类似同级的关系，但已显示出存在微妙的差异，并且差异表征了该组的结构。例如，$ a_5 $不能完全以通勤图为特征，但在哈斯图上可以使用。但是，轨迹群不能以哈斯图来表征。只有当两者结合在一起时，才有可能的表征。这种事情是为一个小型小组建立的。