結晶成長現象における幾何測度論的な数理解析

晶体生长现象的几何测度论数学分析

• 批准号: 14702001
• 负责人: 利根川 吉廣
• 金额: $ 5.16万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (A)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14702001/
• 关键词: 変分問題; 非線形偏微分方程式; 相分離; 幾何学的測度論; 非等方的; 極小曲面; 粘性解; 正則性理論

平成16年度は(1)等方的な表面張力がその分離の主原因となっているvan del Waals 2相分離モデルにおいて、表面エネルギーの有界性と化学ポテンシャルに対応する量のソボレフノルムの有界性を仮定し、界面領域の厚みを0に近づけたときの極限界面について新しい結果を得た.同様な方向で2002年に得た結果では部分的なソボレフノルム有界下での結果が得られたが、今年度の結果で完全にシャープな結果を得た(論文準備中).この結果を示すにあたっては新しいregularizationの技術を用いたのであるが、他の現在懸案となっている関連問題への突破口となる結果であり、現在精査中である.(2)確率論の大偏差原理に動機付けられた、安定相間の遷移確率を決定する汎関数、Allen-Cahn Action(ACA)の特異極限問題についてReznikoffは各種のスケーリング則を得たが、特に空間的な非一様性が得られるスケーリングにおいてはACAの上からの評価を得ていた.一方、下からの評価についてのシャープな結果を共同研究で得ることが出来た(Kohn, Reznikoffとの共著論文を投稿中).この結果は空間1次元の結果であるが、(1)の結果を用いる事で各種の2、3次元の結果が得られることが期待される.(3)Penn State大学のLiu氏によって問題提起された非圧縮性流体移流効果のある場合の平均曲率流弱解構成への幾何学的測度論の応用に関して引き続き研究成果があった。

在2004年，（1）范德尔·沃尔斯（Van del Waals）两相分离模型，其中各向同性表面张力是其分离的主要原因，我们假设表面能的边界性质和索波勒型的边界性质与化学电位相对应，并且我们获得了界面厚度接近Zero时极限界面的新结果。在同一方向上，我们在2002年在部分索波氏菌的界定下获得了结果，但今年的结果完全敏锐（准备）。为了证明这一结果，我们使用了一种新的正则化技术，但这是当前关注的其他相关问题的突破，目前正在研究中。 （2）艾伦·卡恩（Allen-Cahn），该功能确定稳定相之间过渡的可能性，这是由概率理论的大偏差原理激发的。 Reznikoff已为单数限制问题（ACA）获得了各种缩放规则，但尤其是，它在缩放方面获得了更高的ACA评估，这允许空间不均匀性。另一方面，通过合作研究（与Kohn和Reznikoff共同撰写的论文），从底部进行评估的鲜明结果。尽管该结果是空间的一维结果，但预计可以通过使用（1）中的结果来获得各种2和3维结果。 （3）在宾夕法尼亚州立大学Liu提出的不可压缩的流体对流效应的情况下，在应用几何措施对平均曲率流量的解决方案结构中的应用中继续发现了研究结果。

项目成果

Y.Tonegawa: "Domain dependent monotonicity formula for a singular perturbation problem"Indiana University Math.Journal. 52・1. 69-83 (2003)

Y.利根川：“奇异扰动问题的域相关单调性公式”印第安纳大学数学杂志 52・1（2003）。

Y.Tonegawa: "Domain dependent monotonicity formula for a singular perturbation problem"Indiana Univ. Math. Journal. (印刷中).

Y.Tonekawa：“奇异扰动问题的域相关单调性公式”印第安纳大学数学杂志。

A.Harris: "A θ^^-θ-Poincare lemma for forms near an isolated complex singularity"Proc.American Math.Soc.. 131・11. 3329-3334 (2003)

A.Harris：“孤立复奇点附近形式的 θ^^-θ-庞加莱引理”Proc.American Math.Soc.. 131・11 (2003)。