非線型偏微分方程式の解の構造の解析およびその構造

非线性偏微分方程解的结构及其结构分析

基本信息

批准号：
02640163
负责人：
俣野博
金额：
$ 1.34万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1990
资助国家：
日本
起止时间：
1990 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

1.ある種の非線形拡散方程式の解は有限時間で消滅する(ある時刻以後は恒等的にゼロになる)ことが知られている。本研究では、以前知られていなかった、消滅時刻付近での解の詳しい挙動を解析することに成功した。この方程式は、例えばプラズマ中の熱の伝播(輻射のため熱エネルギ-は急速に失なわれる)や、多孔性媒質中の拡散現象(ただし蒸発等により総質量は急速に減少するような系)のモデルとして現れる。本研究で明らかにしたのは、解が消滅する際に、解の台(解が正の値をとる領域のこと;この外では解はゼロ)の各連結成分が収縮して、1点に縮まるという事実である(論文Finiteーpoint extinction and continuity of interfaces in a nonlinear diffusion equation with strong absorption)。これは、以前に行なわれていた数値実験でも結果がはっきりせず、結論がでていなかった。ただしこの研究の成果は空間1次元の場合に限られ、多次元の場合は今後の課題として残っている。上記の研究には、研究分担者の増田、岩崎(解析学)との討議が大いに役立った。また、拡散現象に対する確率論の立場からの示唆を小谷から受け、非常に参考になった。2.非線形楕円型方程式の特異解の分類に大きな進展を見た(論文Singular solutions of a nonlinear elliptic equation and an infinite dimensional dynamical system)。これは量子力学におけるト-マス・フェルミ理論に現れるのと同種の方程式である。解析学の問題を、無限次元力学系の観点から定式化しなおし、解析学と幾何学の手法を併用することによって、大域的な研究を行ない得た。これに関し、分担者の落合、松本(幾何学)との研究討議が、解析学の問題に幾何学的視点を導入する上で非常に役立った。

1、已知某些非线性扩散方程的解在有限时间内消失（经过一定时间后变为零）。在这项研究中，我们成功地分析了溶液在灭绝时间附近的详细行为，这是以前未知的。例如，该方程适用于等离子体中的热传播（热能由于辐射而迅速损失），以及多孔介质中的扩散现象（然而，总质量由于蒸发等而迅速减少的系统）表现为模型。这项研究表明，当解决方案消失时，解决方案平台的每个连接组件（解决方案取正值的区域；在此之外，解决方案为零）收缩到单个点（文章：有限点灭绝和连续性。具有强吸收的非线性扩散方程中的界面）。之前的数值实验没有得出明确的结果，也没有得出结论。然而，这项研究的结果仅限于一维空间的情况，多维空间的情况仍然是未来的挑战。与联合研究员 Masuda 和 Iwasaki（分析）的讨论对上述研究非常有帮助。我还收到了小谷从概率论角度关于扩散现象的建议，这非常有帮助。 2.非线性椭圆方程奇异解的分类取得重大进展（论文Singular Solutions of a Linear Elliptic Equation and an Infinite Dimensional Dynamical System）。这与量子力学托马斯费米理论中出现的方程相同。通过从无限维动力系统的角度重新表述分析问题并结合使用分析和几何技术，我们能够进行全局研究。在这方面，与我的合作者落合和松本（几何）的研究讨论对于将几何视角引入分析问题非常有帮助。