多次元の逆問題における解の情報抽出のための新しい方法

一种提取多维反问题解信息的新方法

• 批准号: 02F00757
• 负责人: 池畠 優
• 金额: $ 0.96万
• 依托单位: Gunma University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2003
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-02F00757/
• 关键词: コーシー問題; 定常シュレーディンガー方程式; 逆問題; Dirichlet-to-Neumann; 電気インピーダンストモグラフィ; 複素幾何光学解; 正則化

(1)定常シュレーディンガー方程式に対するコーシー問題。この研究の目的は、池畠の提出した定常シュレーディンガー方程式に対するコーシー問題の解の表示公式を基礎にした、解の近似的計算のためのアルゴリズムの理論的考察および数値的検証である。そのアルゴリズムの数値的検証のため、基礎となるFaddeevのGreen関数の数値計算の詳細な理論的検討を行った。それをもとに、アルゴリズムに必要な特別なソース項を持つ定常シュレーディンガー方程式の解を数値計算する方法を提出した。そして適切なパラメタが選択されれば、もともとの定常シュレーディンガー方程式に対するコーシー問題の解が、ある程度の精度で、安定に得られることがわかった。また、そのアルゴリズムの心電図への応用を行った。これらの結果をまとめた論文は、すでに、国際誌SIAM J.Appl.Math.に掲載決定されてる。(2)電気インピーダンストモグラフィにかかわる逆問題。池畠は、彼自身の提出した囲い込み法の一般化として、Mittag-Lefflerの関数を基礎におく、物体内の未知の介在物についての位置と形状の情報をDirichlet-to-Neumann写像から抽出する方法をすでに提出している。この方法を基礎にした、電気インピーダンストモグラフィにおける新しいアルゴリズムを考案し、その数値実験をとおして有効性と限界をみきわめるのが目的である。そのため、データの数を無限から有限に落としたとき、池畠の方法をどう修正したらよいか、また、データに誤差があったらどうしたらよいかなどの点について、理論的に考察した。そしてそれらの知見にもとづいて、きわめて単純な、電気インピーダンストモグラフィにおける新しいアルゴリズムを提出した。特に、いくつかの基本的な場合について、数値実験を行い、介在物の連結成分の数という重要な情報がよく再現できるということを確認している。その理論的考察と数値的検証を含んだ論文を、国際誌Inverse Problemsへ投稿中である。今後の研究として、次の二つを考えている。一つはVekua変換をとおして、Mittag-Lefflerの関数を変形Helmholtz方程式が支配方程式である、音波の物体による散乱の逆間題へ(2)のアイデアを適用すること。もう一つは(2)のアルゴリムを実測データを使って検証すること。すでにデータの提供先を見つけ研究交流が始まりつつある。

（1）稳态Schrödinger方程的Cauchy问题。这项研究的目的是基于Cauchy问题解决方案的代表公式对Ikehata提交的稳态Schrödinger方程的表示方案的近似解决方案的理论考虑和数值验证。为了通过数值验证算法，对基础Faddeev绿色函数的数值计算进行了详细的理论检查。基于此，我们提出了一种用于计算稳态Schrödinger方程的解决方案的方法，该方程具有该算法所需的特殊源项。已经发现，如果选择了适当的参数，则可以以一定程度的准确性且稳定地获得原始稳态Schrödinger方程的库奇问题解决方案。该算法也应用于心电图。该论文总结了这些结果，已经决定在《国际杂志》 SIAM J.Appl.Math中发表。 （2）与电阻抗断层扫描有关的逆问题。 Ikebata已经根据Mittag-Leffler函数提交了自己的外壳方法的概括，以从对象中从Dirichlet到Neumann Map中提取未知夹杂物的位置和形状信息。目的是基于这种方法设计一种新的电阻抗断层扫描算法，并通过数值实验确定其有效性和局限性。因此，当数据数量从无限到有限的数据减少时，我们从理论上考虑了诸如如何纠正ikebata的方法等点，以及如果数据中存在错误该怎么办。根据这些发现，我们提出了一种非常简单的新算法，用于电阻抗层析成像。特别是，已经对几种基本情况进行了数值实验，以确认可以很好地再现重要信息，例如包含物中的连接组件的数量。目前正在将包含理论考虑和数值验证的论文提交给国际杂志逆问题。在未来的研究中，我们考虑以下两件事：一个是将（2）的概念应用于声波对象散射的反问题，从而通过vekua变换转换了米塔格 - leffler函数，其中helmholtz方程是管理方程。另一个是使用实际测量数据在（2）中验证算法。研究交流已经开始启动，找到了提供的数据来源。