計量構造と位相構造

度量结构和拓扑结构

• 批准号: 02640053
• 负责人: 酒井 隆
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Okayama University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1990
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1990 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-02640053/
• 关键词: 計量構造; 位相構造; 幾何学不等式; 比較定理とその応用; リ-マン幾何学

(1)酒井は多様体の計量構造と位相構造に関連して、種々の幾何学的不変量の間に成り立つ幾何学的不等式について考察を続けている。特に2次元球面S^2上非負ガウス曲率のリ-マン計量に対して面積Area(S^2,g)と直径Diam(S^2,g)に関する等径不等式を取り扱った。A.D.AlexandrovはArea(S^2,g)/Diam(S^2,g)^2【less than or equal】π/2であり,等号成立は平担なユ-クリッド円板のdoubleの場合であると予想した。これに関してArea(S^2,g)/Diam(S^2,g)^2<0.985πを示した。最良の結果を得るためには(S^2,g)の計量gの対称化を考える必要があると思われる。そのために(S^2,g)を面積の等しい2つの円板Dに分け、境界からの距離の最大値d^*を考えて、等径不等式を回転領域の場合に帰着させようとした。特に(D,g)が実解析的であり、非負のガウス曲率を持ち、境界が凸の場合にArea(D,g)/(d^*)^2の評価を得た。これは境界からの距離関数のレベルとその長さの変化を詳細に調べることによる。(2)初等幾何学でSteinerの定理と呼ばれる問題「3角形ABCの点Pに対してAP+BP+CPの最小値をとる点を求めよ」がある:LA,LB,LC<2π/3ならば内点PでLAPB=LBPC=LCPA=2π/3をみたすものが唯一つ存在しこれが最小値を与える。頂点のうち一つの角が2π/3以上ならこの頂点が最小値を与える。さて酒井は野田隆三郎・森本雅治との協同研究でこの問題をアダマ-ル多様体(完備単連結非正曲率多様体)のn(【greater than or equal】3)個の異なる点からの距離の和を最小にする問題に拡張して上記を一般(3)最近のリ-マン幾何学の発展は目覚ましいものがあるが、それについて解説した適当な和書がなかった。そこでリ-マン幾何学における大域的な概念の解説と、特に比較定理と呼ばれる手法と、その曲率と位相,等同不等式とスペクトル幾何への応用について解説した書物を書いた。

(1) Sakai 继续考虑与流形的度量结构和拓扑结构相关的各种几何不变量之间存在的几何不等式。特别地，对于二维球体 S^2 上非负高斯曲率的黎曼度量，我们处理了关于面积 Area(S^2,g) 和直径 Diam(S^2,g) 的等径不等式。 A.D.Alexandrov 是 Area(S^2,g)/Diam(S^2,g)^2 [小于或等于] π/2，并且在平欧几里得圆盘双精度的情况下，等式成立。是。对此，我们给出了Area(S^2,g)/Diam(S^2,g)^2<0.985π。为了获得最好的结果，似乎有必要考虑(S^2,g)的度量g的对称化。为此，我们将 (S^2,g) 分成两个面积相等的圆盘 D，考虑距边界的最大距离 d^*，并尝试将等径不等式简化为旋转区域的情况。特别是，当 (D,g) 为实解析、具有非负高斯曲率且具有凸边界时，我们获得了 Area(D,g)/(d^*)^2 的评估。这是通过详细检查距边界的距离函数水平及其长度的变化来完成的。 (2)初等几何中，有一个问题叫斯坦纳定理，“对三角形ABC的点P求AP+BP+CP最小值的点”：如果LA,LB,LC<2π/3只有一个内点P满足LAPB=LBPC=LCPA=2π/3，并且这给出了最小值。如果顶点的一个角大于或等于 2π/3，则该顶点给出最小值。现在，Sakai 在与 Ryuzaburo Noda 和 Masaharu Morimoto 的合作研究中通过计算 Hadamard 流形（完全连通的非正曲率流形）的 n（大于或等于）3 个不同点的距离解决了这个问题。最小化总和的问题，上述可以推广 (3) 尽管黎曼几何最近的发展非常显着，但还没有合适的日本书籍对其进行解释。因此，我写了一本书，解释了黎曼几何中的全局概念，特别解释了称为比较定理的方法及其在曲率、拓扑、等式和不等式以及谱几何中的应用。

项目成果

MIMURA,M.(with.K.MARUYAMA): "Nilpotent subgroups of selfーhomotopy equivalences" Israel J.Math.,to appear.

MIMURA, M.（与 K. MARUYAMA）：“自同伦等价的幂零子群”Israel J. Math.，出现。

KATSUDA,A.(with T.SUNADA): "Closed orbits in homology classes" Publications Math.71. 5-32 (1990)

KATSUDA,A.（与 T.SUNADA）：“同调类中的闭合轨道”出版物 Math.71。