有限生成群の等周指数による巨視的観点からの解析

使用有限生成群的等周指数进行宏观分析

• 批准号: 13J01771
• 负责人: 嶺山 良介
• 金额: $ 1.47万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2013
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2013-04-26 至 2015-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13J01771/
• 关键词: ヒルベルト幾何; コロナ; 粗Novikov予想; 粗Baum-Connes予想

愛媛大学の尾國新一氏との共同研究においてヒルベルト幾何の粗幾何学的様相について調べた。一般にユークリッド空間内の有界凸領域上には非調和比を用いて距離関数を定めることができる。これをヒルベルト幾何と呼ぶ。この距離空間はその自然な境界の形や滑らかさによって双曲的にもユークリッド的にもなり得る。この観点から、ヒルベルト幾何はある意味で双曲性の一般化であると捉えられる。双曲的な空間やユークリッド空間は粗幾何学的によく調べられていて、特に（粗）幾何学的構造を反映した「良い」境界の存在は重要である。この境界はコロナと呼ばれている。本研究はヒルベルト幾何の自然な境界がいつコロナであるのか調べることを目標としたものである。主結果として、それは有界凸領域が狭義凸であることと必要かつ十分であることがわかった。加えてヒルベルト幾何学が一様可縮かつ粗有限幾何学を持つことを示した。これらにより主結果の系として自然な境界がコロナである場合にはヒルベルト幾何において粗Novikov予想が正しいことが示される。粗Novikov予想とは一様可縮かつ粗有限幾何学を持つ空間においては、粗KホモロジーとRoe環のK群の間の自然な準同型が単射であろうという予想である。また一方で、二次元のヒルベルト幾何に対して漸近次元が2であることを示し、この場合には上の準同型の同型性を主張する粗Baum-Connes予想が正しいことも示した。

在Ehime University的Okuni Shinichi的联合研究中，我们研究了Hilbert几何形状的粗糙几何方面。通常，非谐波比率可用于定义欧几里得空间中有界凸区域的距离函数。这称为希尔伯特的几何形状。由于其自然的边界形状和光滑度，该距离空间可能是双曲线或欧几里得。从这个角度来看，希尔伯特的几何形状可以将其视为双曲线的概括。双曲线和欧几里得空间在粗糙​​的几何形式上进行了充分的检查，并且反映（粗）几何结构的“良好”边界的存在尤为重要。该边界被称为冠状病毒。这项研究旨在研究希尔伯特几何学的自然边界何时是冠状病毒。主要是，发现有界的凸区域狭窄，是必要和足够的。此外，结果表明，希尔伯特的几何形状具有均匀缩小且粗糙的有限几何形状。这些表明，当自然边界作为主要结果系统是电晕时，希尔伯特的几何形状的粗略预测是正确的。原始的诺维科夫预测是，在具有均匀缩小和粗糙有限几何形状的空间中，粗k同源性和roe环的k组之间的自然同态将是单色的。另一方面，它还表明，二维希尔伯特几何形状的渐近维度为2，在这种情况下，粗制的鲍姆 - 康纳斯预测声称上述同态同构的同构是正确的。

项目成果

ヒルベルト距離の粗幾何学

希尔伯特距离的粗略几何

• 发表时间: 2015
• 作者: Yasunori Ichihashi;Satoko Yoshida;Ri-ichiroh Manabe;Ken Shirasu;嶺山良介
• 通讯作者: 嶺山良介