非線形消散波動方程式の一般論の構築と宇宙論および流体力学への応用

非线性耗散波动方程一般理论的构建及其在宇宙学和流体力学中的应用

基本信息

批准号：
22H00097
负责人：
高村博之
金额：
$ 26.87万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究課題初年度の今年度は、本研究の前に採択されていた基盤研究Bで見出した起点、空間１次元の半線形波動方程式と宇宙論に関係する非線形消散波動方程式の解析が主体となった。前者に関しては非常に顕著な成果があった。まず、非線形項が未知関数の時間微分だけからなるモデル方程式に対して、なぜか空間１次元の解析だけ長年抜けていたものである。非線形項に空間変数の重みを付けて解析したが、それに関する結果自体は一般論の最適性に関する新しい情報を提供するものではなく、一般論の拡張時に補助的な役割を担うものである。しかしながら、この非線形項と未知関数自身からなる非線形項との和による特異な現象、両者が単独の場合に得られる古典解の最大存在時間 (lifespan) が和になるとその最小値より極端に短くなる現象、いわゆるcombined effect、が観測されるような解析に応用できることがわかった。実際、各点評価の逐次代入法という古典的かつ精密な解析に乗り、初期速度の全空間での積分量がゼロの場合にその現象を発見した。この結果は、線形自由な解の時間減衰がない空間１次元では得られないと思われていたもので、初期値を分類することによって出現させることができた。また、二種類の非線形項の和が生み出す影響を詳細に解明できたため、一般論に未だ分類不足な部分があることもわかった。これは非線形波動方程式の分野に大きく貢献するものである。後者は、ビックバン直後のド・ジッター時空間で半線形消散波動方程式を考察すると、エネルギー解のlifespanにどのように変化するか、解の爆発から測ったものである。急激に宇宙が膨張および収縮している場合に対応する状況で、半線形項の臨界冪を明らかにし、lifespanの上からの評価を与えた。時間大域存在の証明はすでに他の研究者によって得られているので、後は結果の最適性だけが残った。

今年是该研究项目的第一年，将主要集中在一维空间中的半线性波动方程和与宇宙学相关的非线性耗散波动方程的分析，这是在基础研究B中发现的起点，并被采纳在这项研究之前。就前者而言，已经取得了非常显着的成果。首先，对于非线性项仅是未知函数的时间导数的模型方程，由于某种原因多年来只缺少一维空间分析。虽然我们通过对空间变量进行加权来分析非线性项，但结果本身并没有提供关于一般理论最优性的新信息，而是在扩展一般理论时起到辅助作用。然而，由于该非线性项与由未知函数本身组成的非线性项之和所引起的特殊现象，发现当两者单独组合时获得的经典解的最大寿命变得比最小值极短。该方法可应用于观察到现象（即所谓的组合效应）的分析。事实上，利用逐点评估的逐次代入法的经典而精确的分析，当整个空间的初速度积分为零时，我们发现了这种现象。这一结果被认为在线性自由解不存在时间衰减的一维空间中是不可能获得的，但通过对初始值进行分类而成为可能。此外，由于我们能够详细阐明两类非线性项之和所产生的影响，我们还发现一般理论中仍然存在一些缺乏分类的领域。这是对非线性波动方程领域的重大贡献。后者是在考虑大爆炸后德西特时空中的半线性耗散波方程时，基于解的爆炸，衡量能量解的寿命如何变化的指标。在与宇宙快速膨胀和收缩的情况相对应的情况下，我们阐明了半线性项的临界功率，并从寿命上方进行了评估。由于其他研究人员已经获得了时间全局存在的证明，剩下的就是结果的最优性。