拡散構造を持たない消散型波動方程式に対する大域可解性の理論の新展開

无扩散结构耗散波动方程全局可解理论的新进展

基本信息

批准号：
22K20345
负责人：
喜多航佑
金额：
$ 1.83万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-08-31 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は空間三次元における消散型波動方程式の解に対する時空重み付き各点評価を導出した．これは，本研究の目的である波動方程式と消散型波動方程式の連立系である「中尾の問題」の解析に必要な道具を構築したことになる．そもそも波動方程式と消散型波動方程式は偏微分方程式としての分類では同じ双曲型方程式となるにもかかわらず，前者はエネルギー保存や有限伝播性といった波動的な性質を持つが，後者は消散項の影響でそのような波動的性質よりも寧ろエネルギー散逸やそれに伴う減衰の観点から放物型方程式である熱方程式的性質をもっていると捉えることが出来る．従って，中尾の問題の解の漸近挙動の解析は全く違うものだと考えられていた双曲型方程式と放物型方程式の間のある種の階層構造を解明するための一つの鍵となっていると考えられる．中尾の問題に対しては解の有限時間爆発 (時間大域解の非存在) に関しては幾つかの結果が存在するが，時間大域解の存在に関する結果は未だに存在しない．実際，単独の消散型波動方程式の初期値問題の大域適切性の証明に関しては，消散効果によるエネルギー散逸に着目した重み付きエネルギー法がよく用いられているが，この手法は波動方程式には適合しない．従って，中尾の問題の時間大域解を議論するためには消散型波動方程式に対する波動的なアプローチを確立しなければならない．本研究ではその一つとして解の重み付きの各点評価に注目して研究を行なった．特に波動方程式に対する F. John (1979) の古典的な結果の消散型波動方程式版を導出した．この評価を用いることで中尾の問題の解決だけでなく，単独の消散型波動方程式のより詳細な解析を可能にすることが期待される．

今年，我们在空间三维中使用时空重量来得出了每个点的评估，以解决耗散型波方程的解决方案。这意味着我们已经构建了Nakao问题分析所需的工具，Nakao问题是波浪方程和耗散型波方程的联盟系统，这是本研究的目标。首先，在对部分微分方程进行分类时，波方程和耗散波方程是相同的双曲程方程，但是前者具有诸如节能和有限传播之类的波属性，而后者可以看作是具有远程核心方程的热方程属性，这是从能量耗散和相关衰减而造成效应的效应效果的抛物线方程。因此，人们认为对纳科的问题的渐近行为的分析被认为是阐明双曲线和抛物线方程之间某些分层结构的关键之一，这被认为是完全不同的。对于Nakao的问题，解决方案的有限时间爆炸（缺少时机解决方案）有几个结果，但仍然没有时间全球溶液的结果。实际上，当涉及单个耗散波方程的初始值问题的全球适当性证明时，经常使用一种重点是由于耗散效应引起的能量耗散的加权能量方法，但此方法不符合波动方程。因此，为了讨论Nakao问题的时间全局解决方案，必须建立耗散型波方程的波浪方法。这些研究之一是通过加权溶液重点关注每个点的评估。特别是，我们得出了F. John（1979）的Wave方程的经典结果的消散波方程。使用此评估，预计不仅可以解决Nakao问题，还可以对单个耗散型波方程进行更详细的分析。