エクサスケーラブルな大規模連立一次方程式の前処理としてのFMMの代数学的拡張

FMM 的代数扩展作为大规模线性方程组的可扩展预处理器

基本信息

批准号：
15H06196
负责人：
横田理央
金额：
$ 0.92万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-08-28 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-15H06196/
关键词：
高性能計算

项目摘要

次世代計算機上で既に性能が出ると分かっている階層的 N 体アルゴリズムを出発点にとり，それを任意の連立一次方程式を扱えるソルバへと徐々に拡張した．平成27年度には，Poisson 方程式しか解くことのできない現在の FMM を Helmholtz 方程式や Stokes 方程式へと拡張し，流体解析のみならず構造・電磁場・音響解析へも適用できるようにした。また、それぞれの方程式を同等の計算条件，計算機環境の下で multigrid 法やHSS行列と直接比較し，いままでやられてこなかった手法間の定量的な優位性の評価を行った．Multigrid 法との比較においては Poisson 方程式に比べ Helmholtz 方程式は FMM の優位性が顕著であった．これは Helmholtz 方程式が高周波を含む場合に multigrid 法の収束性が著しく低下するのに対して，FMM の収束性がさほど低下しないことが原因である．HSS行列との比較ではセットアップのオーバーヘッドが小さい FMM が HSS に比べて合計の計算時間で有利になるという結果が得られた．特に２次元 Laplace 方程式においてその差は顕著で FMM が約1000倍高速であった．スケーラビリティのベンチマークにおいては FMM は Cray XC40 の 131,072 コアを用いた計算で良好な並列化効率が得られ，4000億点規模の計算を数秒で行うことができた．これは，FMM の計算としては世界最大規模であり，最速の計算でもあると思われる．

我们以层次N-Field算法为单位，该算法已知在下一代计算机上表现良好，作为起点，并逐渐将其扩展到可以处理任意线性方程的求解器。在2015年，当前只能通过泊松方程求解的当前FMM扩展到Helmholtz和Stokes方程，这不仅可以应用于流体分析，还可以应用于结构，电磁场和声学分析。此外，在可比的计算条件和计算机环境下，将每个方程式与多族方法和HSS矩阵直接进行比较，以及在没有尝试过的方法之间的定量优势。与多族方法相比，与泊松方程相比，Helmholtz方程在FMM中具有显着优势。这是因为当Helmholtz方程包括高频时，多族方法的收敛大大降低，而FMM的收敛性并未显着降低。与HSS矩阵相比，我们发现与HSS相比，设置较低的FMM在总计算时间中具有优势。特别是，在二维拉普拉斯方程中的差异很明显，FMM的速度约为1000倍。在可伸缩性基准中，FMM能够通过使用131,072个Cray XC40的核心计算来实现良好的并行化效率，从而可以在几秒钟内进行4000亿点的计算。这是世界上FMM的最大，最快的计算。