Fourier解析的手法に基づいた確率微分方程式の近似理論の研究

基于傅里叶分析方法的随机微分方程逼近理论研究

• 批准号: 22K13932
• 负责人: 永沼 伸顕
• 金额: $ 3万
• 依托单位: Kumamoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22K13932/
• 关键词: 確率微分方程式; ラフパス解析; マリアバン解析; 近似理論; フーリエ解析

本年度は非整数ブラウン運動などのガウス過程を駆動過程とする確率微分方程式の近似解の誤差評価に関する研究を行なった。この研究はオイラー・丸山近似、クランク・ニコルソン近似、ウォン・ザカイ近似など多くの近似手法が提案され、それぞれの手法について詳細に研究がなされている。本研究では、ガウス過程の級数展開による近似過程を駆動過程とする確率常微分方程式から近似解を構成し、近似誤差の収束の早さや漸近挙動などを考察する。この手法はウォン・ザカイ近似に似た近似手法と言える。また、非整数ブラウン運動などのガウス過程を級数展開を利用して近似した場合の収束の様子はよく研究されており、収束の速さなどもよく知られている。本研究はこの研究の一般化と位置付けることができる。確率微分方程式の近似の研究においてはラフパス解析が有効に働くことが知られている。駆動過程の重複積分を考えることがラフパス解析の肝であるが、近似誤差の研究においてもそれが肝となる。実質的には、元の駆動過程の重複積分と近似した駆動過程の重複積分の誤差評価が近似解の誤差評価につながる。実際、重複積分の誤差評価が得られれば、その後の処理のある程度の部分は先行研究に頼ることができる。本研究ではガウス過程を複数の方法を使って級数展開し、それらの方法の間の共通点や相違点を明らかにすることが目標である。またそれらの手法の数値計算における有効性を理論的な側面からだけではなく、実践的な側面からも確認したい。

今年，我们针对分数布朗运动等驱动过程为高斯过程的随机微分方程近似解的误差评估进行了研究。在这项研究中，提出了许多近似方法，例如Euler-Maruyama近似、Crank-Nicholson近似和Wong-Zakai近似，并且对每种方法都进行了详细的研究。在本研究中，我们从随机常微分方程构造近似解，其驱动过程是基于高斯过程的级数展开的近似过程，并考虑近似误差的收敛速度和渐近行为。该方法可以说是一种类似于Wong-Zakai近似的近似方法。此外，已经充分研究了使用级数展开来近似分数布朗运动等高斯过程时的收敛状态，并且收敛速度也是众所周知的。这项研究可以被定位为该研究的概括。众所周知，粗糙路径分析在随机微分方程逼近的研究中非常有效。考虑行驶过程的重叠积分是粗糙路径分析的关键，同时也是研究逼近误差的关键。实际上，原始驱动过程的重叠积分和近似驱动过程的重叠积分的误差评估导致了近似解的误差评估。事实上，一旦获得了重叠积分的误差估计，后续处理的某些部分就可以依赖于先前的研究。本研究的目标是使用多种方法将高斯过程扩展为级数，并阐明这些方法之间的共性和差异。我们还想不仅从理论角度而且从实践角度确认这些方法在数值计算中的有效性。

项目成果

Generalizations of the fourth moment theorem

四阶矩定理的推广

• DOI: 10.37190/0208-4147.00060
• 发表时间: 2022
• 期刊: Probability and Mathematical Statistics
• 作者: 川本昌紀;宮崎隼人;Kodai FUJIMOTO;宮崎隼人;藤本 皓大;宮崎隼人;Naganuma Nobuaki
• 通讯作者: Naganuma Nobuaki