開4次元多様体に対するゲージ理論とその応用

规范理论及其在开四维流形中的应用

基本信息

批准号：
22K13921
负责人：
谷口正樹
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Institute of Physical and Chemical Research
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

この研究は, 被覆空間・幾何構造に付随する非コンパクトな4次元多様体に対してゲージ理論を展開するものであり, さらに, これを用いて低次元トポロジー・シンプテクティックトポロジーに応用することを目標としていた. 今年度は, 主にコンタクト構造に付随する非コンパクト4次元多様体に対するSeiberg-Witten理論の展開に関する研究を行なった. 一つの成果として, 「A note on generalized Thurston-Bennequin inequalities」というタイトルの論文を飯田暢生氏, 今野北斗氏と書き, 雑誌「International Journal of Mathematics」に投稿し, アクセプトされた. この論文では, S^3を境界に持つ滑らかな　4次元多様体に埋め込まれた境界付き曲面に対するThurston-Bennequin型のadjunction inequalityを証明した. adjunction inequalityは4次元トポロジーにおいて重要な対象の一つであり, これを用いてエキゾチックな微分構造の発見を多くなされてきた. また, 我々の手法は, 曲面の自己交差が負の場合の境界付き曲面に対しても適応可能であり, また, 曲面の境界がS^3内のlinkになっている場合にも適応可能である.また, 今年度は, 飯田暢生氏と議論を行い, S^3内の(標準的なコンタクト構造に対する)transverse knotに対して, Seiberg-Witten Floer homotopy理論を用いて不変量を構成した. また, この不変量の非消滅定理を示し, これをsymplectic surfaceの存在性に応用した. この結果については現在論文執筆中である.

这项研究旨在为与覆盖空间和几何结构相关的非紧缩的4维流形开发规程，并使用它将其应用于低维拓扑的有症状性拓扑结构。今年，我们对Seiberg-Witten理论的发展进行了研究，以针对与接触结构相关的非紧缩4维流形。结果之一是由Iida Nobuo和Konno Hokuto撰写的，并在“国际数学杂志”杂志上被接受。我们已经证明了嵌入在平滑的，具有S^3作为边界的光滑的四维歧管中的有界表面的Thurston-Bennequin类型调节不等式。辅助不平等是四维拓扑中的重要对象之一，已用于发现异国情调的差异结构。当表面的自我交流为负时，我们的方法也可以适应有限的表面，并且也可以适应当表面的边界在s^3中链接时。此外，在今年，我们与Iida Nobuo讨论了一个不变的s^3中的横向结（用于标准接触结构）的横向结（用于标准接触结构）的不变性。提出了这种不变的非宣布定理，并应用于符号表面的存在。此结果目前已在纸上。