Study of symplectic geometry and topological data analysis with sheaf theory

辛几何研究和层理论拓扑数据分析

• 批准号: 21K13801
• 负责人: 池 祐一
• 金额: $ 2.5万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K13801/
• 关键词: 超局所層理論; 位相的データ解析; パーシステンス加群; 層量子化; インターリービング距離; シンプレクティック幾何学

今年度も，超局所層理論を用いたアプローチでシンプレクティック幾何学の研究を行った．まず，昨年度証明した層の圏におけるインターリービング的距離の完備性に関連した話題について調べた．余接束のコンパクト完全ラグランジュ部分多様体の完備化の元に対して，上記の完備性を通して層量子化が定義されている（Guillermou--Viterbo）．一方で，そのような完備化の元に対してγ-supportという余接束内の部分集合がViterboによって導入された．そこで，浅野氏・Guillermou氏・Humiliere氏・Viterbo氏と共同で，層量子化の（簡約）マイクロ台がγ-supportと一致することを証明した．次に，以前の浅野氏との共同研究で得られた層のインターリービング距離のハミルトン安定性について，再度詳しく研究を行った．その結果，従来は複雑なインターリービング距離でしか得られていなかった不等式が，より単純な距離でも成立することが明らかになった．また，層をハミルトン変形する際のエネルギーを，ホッファー距離そのものではなくマイクロ台の条件を加味したより小さい量で評価できることも示した．さらに，桑垣氏と共同で，余接束に関するNovikov環上の超局所圏の構成に取り組み，この圏において完全とは限らないラグランジュ部分多様体の層量子化の理論を構築した．また，この超局所圏が，分離性定理・交叉点評価・インターリービング距離のハミルトン安定性・距離の完備性といった性質を持つことを確かめた．そのほかに，層係数の離散モース理論についても研究を行った．従来仮定されていた構造射の可逆性を取り外すと，層のマイクロ台および超局所茎的なものが自然に現れ，それを加味することで従来の結果を拡張できることがわかった．

今年，我们也使用超局域层理论的方法对辛几何进行了研究。首先，我研究了与层类别中交错距离完整性相关的主题，我去年证明了这一点。对于余切丛的紧致完备拉格朗日子流形的完备性元素，通过上述完备性定义层量化（Guillermou--Viterbo）。另一方面，Viterbo 为这种完整性元素引入了余切丛的一个子集，称为 γ-支撑。因此，我们与Asano先生、Guillermou先生、Humiliere先生和Viterbo先生合作，证明了层量化的（简化的）微基与γ支持一致。接下来，我们对之前与浅野先生联合研究中获得的层交错距离的哈密顿稳定性进行了另一项详细研究。结果，很明显，以前只能通过复杂的交错距离才能获得的不等式也适用于更简单的距离。研究还表明，层的哈密顿变形能量不能通过霍弗距离本身来评估，而是可以通过考虑微支架条件的较小量来评估。此外，我们与 Kuwagaki 先生合作，致力于构建关于余切束的诺维科夫代数的超局部范畴，并开发了拉格朗日子流形的层量子化理论，该理论在该范畴中不一定是完整的。我们还证实了这个超局部类别具有可分离性定理、交集评估、交错距离的哈密顿稳定性和距离完整性等性质。此外，我们还研究了层系数的离散莫尔斯理论。当我们去除先前假设的结构态射的可逆性时，层的微观立场和超局部茎自然出现，并且我们发现通过考虑这些，我们可以扩展先前的结果。

项目成果

Yuichi Ike

池雄一

Interleaving distance for sheaves and symplectic geometry

滑轮和辛几何形状的交错距离

• 发表时间: 2022
• 作者: Tomohiro Asano;Stephane Guillermou;Vincent Humiliere;Yuichi Ike;and Claude Viterbo;Asano Tomohiro and Ike Yuichi;Yuichi Ike
• 通讯作者: Yuichi Ike

Tamarkin圏におけるインターリービング距離の完備性とC0シンプレクティック幾何への応用

Tamarkin范畴交错距离的完备性及其在C0辛几何中的应用

• 发表时间: 2022
• 作者: Tomohiro Asano;Stephane Guillermou;Vincent Humiliere;Yuichi Ike;and Claude Viterbo;Asano Tomohiro and Ike Yuichi;Yuichi Ike;Yuichi Ike;Yuichi Ike;池 祐一
• 通讯作者: 池 祐一

Interleaving distance for sheaves and displacement energy in symplectic geometry

辛几何中滑轮的交错距离和位移能

• 发表时间: 2022
• 作者: Tomohiro Asano;Stephane Guillermou;Vincent Humiliere;Yuichi Ike;and Claude Viterbo;Asano Tomohiro and Ike Yuichi;Yuichi Ike;Yuichi Ike;Yuichi Ike;池 祐一;池祐一
• 通讯作者: 池祐一

Sheaf quantization and intersection of rational Lagrangian immersions

束量化和有理拉格朗日浸没的交集

• DOI: 10.5802/aif.3554
• 发表时间: 2022
• 期刊: Annales de l'Institut Fourier
• 作者: Tomohiro Asano;Stephane Guillermou;Vincent Humiliere;Yuichi Ike;and Claude Viterbo;Asano Tomohiro and Ike Yuichi
• 通讯作者: Asano Tomohiro and Ike Yuichi