有理点を持つ曲面族の割合に関する研究

有理点面族比例研究

• 批准号: 22KJ2701
• 负责人: 金村 佳範
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Keio University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2701/
• 关键词: 楕円曲線; 有理点問題; 局所大域原理; 連分数展開

1つ目の研究課題（研究目的の(a)）について、当初考えていた4次曲面族では既存の手法の改良のみでは有理点を持つ部分族の割合の下からの評価の改良を見込めないことが判明した。一方、研究の過程にて、複数の特殊な曲線族において有理点を持つ部分族の割合を評価することが出来た。現在は、曲線族をより広い族にして有理点を持つ部分族の割合を評価出来る方針も得られているため検討している。更に、得られた結果を用いて当初考えていた4次曲面族で有理点を持つ部分族の割合を評価出来ないかについても検討している。また、2つ目の課題（研究目的の(b)）について、元々考えていた4次曲面族で新たに有理点を持たない族を構成するには至っていない。しかし、研究を進めていく中で、より高次の曲面族にて有理点を持たない族を構成するために必要になるBrauer群の元の族の候補を見出すことが出来た。現在は、構成したBrauer群の元の族を用いて、有理点を持たない曲面族の構成を試みている。更に、当初の計画にはなかったが、実二次無理数の整数係数連分数展開表示と深く関わりのあるPCF多様体上の整数点に関する研究を行った。結果、特殊なPCF曲面上の整数点を全決定した。更に、その結果を用いて、ペル方程式の整数解への応用も考察した。以上の結果は既に論文にまとめ、プレプリントとして公開し、国際論文誌へ投稿中である。

对于第一个研究问题（研究目标（a）），仅仅通过改进最初考虑的四次曲面族的现有方法，无法从下而上地改进对有理点子群比例的评估。事实证明。另一方面，在研究过程中，我们能够评估几个特殊曲线族中具有有理点的子群的比例。目前，我们正在考虑一项政策，允许我们将曲线族扩展到更广泛的族，并评估具有理性点的子组的比例。此外，我们还在研究是否可以使用获得的结果来评估最初考虑的四次曲面族中具有有理点的子群的比例。另外，关于第二个问题（研究目标（b）），我们还没有能够构造出最初考虑的不具有有理点的新四次曲面族。然而，随着我研究的进展，我能够找到布劳尔群元素族的候选者，这对于构造没有有理点的高阶曲面族是必要的。目前，我正在尝试使用我构建的布劳尔群元素族来构建没有有理点的曲面族。此外，虽然原计划中没有，但我们对PCF流形上的整数点进行了研究，这与实二次无理数的整数系数连分数展开式的表示有很深的关系。结果，确定了特殊PCF表面上的所有整数点。此外，利用这些结果，我们还考虑了佩尔方程整数解的应用。上述结果已经汇编成论文，以预印本形式发表，目前正在提交给国际期刊。

项目成果

ある種数 1 の曲線族における有理点を持つものの割合について

关于物种数为 1 的曲线族中有理点曲线的比例

• 发表时间: 2022
• 作者: 原田遼太郎;原田遼太郎;原田遼太郎;金村佳範;金村佳範
• 通讯作者: 金村佳範

√m の整数係数連分数展開表示とその Pell 方程式への応用について

关于√m的整数系数连分式展开表示及其在Pell方程中的应用

• 发表时间: 2022
• 作者: 原田遼太郎;原田遼太郎;原田遼太郎;金村佳範
• 通讯作者: 金村佳範