有理点を持つ曲面族の割合に関する研究

有理点面族比例研究

• 批准号: 22KJ2701
• 负责人: 金村 佳範
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Keio University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2701/
• 关键词: 楕円曲線; 有理点問題; 局所大域原理; 連分数展開

1つ目の研究課題（研究目的の(a)）について、当初考えていた4次曲面族では既存の手法の改良のみでは有理点を持つ部分族の割合の下からの評価の改良を見込めないことが判明した。一方、研究の過程にて、複数の特殊な曲線族において有理点を持つ部分族の割合を評価することが出来た。現在は、曲線族をより広い族にして有理点を持つ部分族の割合を評価出来る方針も得られているため検討している。更に、得られた結果を用いて当初考えていた4次曲面族で有理点を持つ部分族の割合を評価出来ないかについても検討している。また、2つ目の課題（研究目的の(b)）について、元々考えていた4次曲面族で新たに有理点を持たない族を構成するには至っていない。しかし、研究を進めていく中で、より高次の曲面族にて有理点を持たない族を構成するために必要になるBrauer群の元の族の候補を見出すことが出来た。現在は、構成したBrauer群の元の族を用いて、有理点を持たない曲面族の構成を試みている。更に、当初の計画にはなかったが、実二次無理数の整数係数連分数展開表示と深く関わりのあるPCF多様体上の整数点に関する研究を行った。結果、特殊なPCF曲面上の整数点を全決定した。更に、その結果を用いて、ペル方程式の整数解への応用も考察した。以上の結果は既に論文にまとめ、プレプリントとして公開し、国際論文誌へ投稿中である。

关于第一个研究主题（（a）为了研究目的），发现在最初考虑的二次表面部落中，不可能通过简单地改善现有方法来提高评估的评估比例以下。同时，在研究过程中，可以评估多个特殊曲线家族中合理点的子家庭比例。目前，我们之所以考虑这一点，是因为我们制定了一项政策，该政策使我们能够评估具有更广泛家庭的子部位的比例，该子部门具有合理的观点。此外，我们还在考虑是否可以使用获得的结果来评估最初考虑的二次表面部落中具有合理点的亚组的比例。此外，关于第二个问题（（b）出于研究目的），我们尚未达到我们最初考虑的新二次表面部落的地步，没有合理的观点。但是，随着我继续研究，我能够找到原始Brauer组的候选人，这对于形成没有理性点的高阶表面组是必不可少的。当前，我们正在尝试使用我们构建的Brauer组的原始家族来构建一个没有合理点的表面组。此外，尽管不在原始计划中，但我们还是对PCF流形的整数点进行了研究，该研究与实际二次非理性数字的连续分数扩展显示密切相关。结果，确定了特殊PCF表面上的所有整数点。此外，结果被用来检查佩尔方程在整数解决方案中的应用。上述结果已经汇编成论文，作为预印本出版，目前已提交国际论文。

项目成果

ある種数 1 の曲線族における有理点を持つものの割合について

关于物种数为 1 的曲线族中有理点曲线的比例

• 发表时间: 2022
• 作者: 原田遼太郎;原田遼太郎;原田遼太郎;金村佳範;金村佳範
• 通讯作者: 金村佳範

√m の整数係数連分数展開表示とその Pell 方程式への応用について

关于√m的整数系数连分式展开表示及其在Pell方程中的应用

• 发表时间: 2022
• 作者: 原田遼太郎;原田遼太郎;原田遼太郎;金村佳範
• 通讯作者: 金村佳範