Extending the geometric theory of discrete Painleve equations - singularities, entropy and integrability

扩展离散 Painleve 方程的几何理论 - 奇点、熵和可积性

基本信息

批准号：
22KF0073
负责人：
WILLOX Ralph
金额：
$ 0.9万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2023
资助国家：
日本
起止时间：
2023-03-08 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

「特異点」というものは19世紀以来の物理学と数学の研究においてもっとも大きな役割を果たしてきた数学的概念である. 近年，自然現象を記述する微分方程式の特異点の構造に基づき，その物理的現象の分析を厳密に行うことが可能となる方程式が増えてきたものの, 数理モデルによく用いられる「遅延型微分方程式」の特異点構造についてはほとんどわかっておらず, そういった方程式の特異点と解との関係はまだ知られていない．本研究では，遅延型微分方程式の特異点構造を解析するために新しい幾何学的理論を開発すること，及びその幾何学的理論に基づき, 遅延型微分方程式の解の特徴を研究することが主な目的である.また，一世紀間以上の研究のおかげで，常微分方程式や偏微分方程式，並びに常差分方程式などの多くの数理モデルに対しては，モデルの「可積分性」がその方程式の特異点の性質に基づいて定義されるようになったものの，非線形偏差分方程式やそれと密接な関係にある関数方程式や遅延方微分方程式などに対しては，そのタイプの方程式における可積分性の決定的な特徴は未だに知られていない. 遅延型微分方程式などにも適用できる忠実な可積分性指標の開発はもう一つの重要な目的である.前者の研究目的については，初年度の2021年度には，A.Stokesが2020年に遅延型常微分方程式の特異点構造を解析するために提唱した数学的手法を用いて，いくつかの方程式の解析を開始し，方程式の一般解の複雑性を測る数学的指標を考案し始めた．また，後者の目標に関しては，２次元の写像の可積分性を判定するために導入された数学的道具の高次元の写像への拡張を研究し始めた．

“奇异性”是一个数学概念，自19世纪以来在物理和数学研究中起着最重要的作用。近年来，基于描述自然现象的微分方程的奇异性的结构，越来越多的方程式可以对物理现象进行严格的分析，但是对“延迟微分方程”的奇异性结构知之甚少，这些结构在数学模型中通常使用，以及这些方程式和解决方案的奇异性之间的关系。这项研究的主要目的是开发一种新的几何理论，以分析延迟微分方程的奇异性结构，并研究基于几何理论的延迟微分方程解决方案的解决方案的特征。此外，由于研究的“整合性”的多个世纪，基于该模型的“整合性”的多个世纪，基于该方程式的属性，例如等式的属性，例如等式的属性，等等的数学性依赖性差异依赖数学的差异，又有数学的差异综述综合范围，又有数学的依赖性综合范围，又有数学的依赖性综合范围，又有数学的综合范围综合的范围，又有数学的范围。微分方程，但是这些方程式中可集成性的决定性特征尚不以与它们密切相关的非线性偏差方程，功能方程和延迟微分方程而闻名。另一个重要的目标是开发可用于延迟差分方程等的忠实可整合性指标。在2021年的第一年，前者的研究目标开始使用A. Stokes提出的数学方法分析多个方程式，分析2020年的数学方法分析了延迟的普通微微分方程的奇异性结构，并开始延迟的数学指标，以促进数学指标，以测量一般溶液的综合性。此外，关于后一个目标，我们开始研究引入高维映射的数学工具的扩展，以确定二维映射的整合性。