流体問題における粘性係数依存性を克服する有限要素スキームとその高速求解法の確立

克服流体问题中粘度系数依赖性的有限元方案建立及其高速求解方法

基本信息

批准号：
18K13461
负责人：
内海晋弥
金额：
$ 1.58万
依托单位：
Gakushuin University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

(i) 非圧縮粘性流の運動を記述するナヴィエ・ストークス方程式に対する数値解法の一つである，ラグランジュ・ガレルキンを考察している．本手法に特徴的な合成関数を含む積分は厳密に行うことが困難であり，そこに数値積分を用いる近似計算が使われた場合の理論解析は知られていなかった．田端正久氏との共同研究により，時間刻みが小さいという条件下で，三角形（四面体）の内部のみに積分点を持つ数値積分を用いるラグランジュ・ガレルキン法の解の収束性が証明された．また，辺上に積分点を持つ公式を使った時の収束性は証明されていないが，安定に計算できることが実験的に分かった．これらの結果は専門誌への掲載が決定した．(ii) 前年度までに結果を得ていた，オセーン問題のためのラグランジュ・ガレルキン，射影，圧力安定化の3種結合スキームに関して，圧力安定化項のパラメータの取り方を考察した．誤差評価の証明の過程でパラメータの指針はこれまでに分かっていたが，物理量の次元に着目して再考した．移流項の大きさは，パラメータの選択に影響を及ぼすことが分かり，ストークス問題に対してはパラメータ選択を再考する必要があることが分かった．(iii) 1次元移流拡散問題に対するラグランジュ・ガレルキン法を考え，L^2 ノルムでの収束次数を考察した．1次要素を用い，時間刻みが十分小さい場合，拡散係数に依存しない h^{3/2} の L^2 収束次数が得られた．ここで，h はメッシュ代表長を表す．これは，これまで得られていた h^1 の収束次数から改善されている．ある程度一般的な仮定の下で，h^{3/2} は他の手法も含めて現在知られている，拡散係数の小ささに依存しない最良次数の誤差評価である．

(i) 我们考虑拉格朗日-伽辽金，它是描述不可压缩粘性流运动的纳维-斯托克斯方程的数值解之一。该方法的特征在于，涉及复合函数的积分很难严格执行，并且尚不知道使用数值积分的近似计算的理论分析。通过与Masahisa Tabata的联合研究，我们证明了Lagrange-Galerkin方法的解在时间步长较小的情况下的收敛性，该方法使用仅在三角形（四面体）内部积分点的数值积分。另外，虽然在使用边缘有积分点的公式时尚未证明收敛性，但通过实验发现可以稳定地进行计算。已决定这些结果将发表在专业期刊上。 (ii)针对Ossene问题的拉格朗日-伽辽金、投影、压力稳定三型组合方案，截至去年已取得结果，我们考虑了如何取压力稳定项的参数。尽管我们之前已经知道了证明误差评估过程中的参数指南，但我们通过关注物理量的量纲来重新考虑它们。结果发现平流项的大小影响了参数的选取，发现有必要重新考虑Stokes问题的参数选取。 (iii) 我们考虑了一维平流扩散问题的拉格朗日-伽辽金方法，并考虑了 L^2 范数中的收敛阶。当使用一阶单元且时间步足够小时，得到与扩散系数无关的h^{3/2}的L^2收敛阶。这里，h代表网格代表长度。这是对迄今为止获得的 h^1 收敛阶数的改进。在一些一般假设下，h^{3/2}是不依赖于扩散系数小的最佳阶误差估计，包括目前已知的其他方法。