実代数幾何的手法を用いた最適化型信号処理の深化

使用实代数几何方法深化优化型信号处理

• 批准号: 18K18122
• 负责人: 山岸 昌夫
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-18K18122/
• 关键词: 信号処理工学; 最適化工学; 非凸正則化; 反復解法; 逆問題; 最適化; 実代数幾何; 信号処理工学; 最適化工学; 非凸正則化; 反復解法; 逆問題; 最適化; 実代数幾何

凸最適化に基づく信号処理手法は，信号処理に現れる諸問題を凸最適化問題として定式化し，その解法を信号処理アルゴリズムとして活用する手法である．この手法は，推定対象の「観測情報」と「先験情報」を同時に活用する柔軟な枠組みとして，スパース信号処理やデータサイエンスなどの発展において中心的な役割を果たしている．この手法のさらなる発展には「新たな最適化問題」に対するアルゴリズムを確立することが最重要課題となっている．本研究は，この課題に現れる種々の困難を最適化理論と実代数幾何のアプローチを用いて解決し，信号処理工学の学術的発展に資することを目的としている．今年度の主な成果として，2020年の成果である「線形変換域でのスパース性の促進に有効な非凸正則化」を用いた非凸正則化付き最小二乗問題(LiGMEモデル）に対して，大域的最適解の探索に重要となる「一般化Moreau強化行列（GME行列）の設計法」を新たに提案している．LiGMEモデルでは，線形変換に対しGME行列を適切に設計することにより，最小化問題の凸性を担保でき，最適解への収束が保証された解法アルゴリズムの活用が可能となる．今年度提案したGME行列の新設計法は，計算時間のかかる固有値分解や反復計算を必要としないため，反復計算を要する既存の設計法(例えば[Liu and Chi 2022])に比べて低計算量で実現可能である．

基于凸优化的信号处理方法是一种方法，在该方法中，信号处理中出现的各种问题被表达为凸优化问题，并且该解决方案用作信号处理算法。该方法在稀疏信号处理和数据科学的开发中起着核心作用，作为一个灵活的框架，同时利用估计的“观察信息”和“字母信息”。为了进一步开发此方法，建立“新优化问题”算法是最重要的问题。这项研究旨在使用优化理论和实际代数几何方法来解决本期中出现的各种困难，从而有助于信号处理工程的学术发展。作为今年的主要结果，我们提出了一种新的“通用Moreau增强矩阵（GME矩阵）的新设计方法”，这对于为2020年结果搜索全球最佳解决方案非常重要，“非凸正则化，可有效地促进线性变换区域的稀疏性”。在LIGME模型中，通过正确设计用于线性转换的GME矩阵，可以确保最小化问题的凸度，并且可以利用保证收敛到最佳解决方案的解决方案算法。今年提出的新的GME矩阵设计方法不需要耗时的特征值分解或迭代计算，因此比需要迭代计算的现有设计方法可以实现较小的计算复杂性（例如，[liu and chi and Chi 2022]]）。