行列積分型超幾何関数と非線形可積分系の研究

矩阵积分超几何函数和非线性可积系统的研究

基本信息

批准号：
19K03521
负责人：
木村弘信
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Kumamoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の目標はGauss の超幾何函数とその合流型函数の一般化としてGel’fand と申請者によって導入されたGrassmann 多様体 Gr(2,N) 上の一般超幾何函数の積分表示をHermite行列積分の形で拡張し，これらを統御する holonomic系の構築と非線形可積分系との関係を明らかにし， Lie 群論(対称錐の幾何)の視点から特殊関数論を構築することとしている。今年度は，Gr(2,4) 上の一般超幾何函数の積分表示をHermite行列積分の形で拡張したものの満たす微分方程式，そのholonomy性の研究及びLauricella超幾何函数の隣接関係の研究を行なった. 得られた知見は以下の通りである.(1) Gr(2,4) 上の4の任意の分割に対するGelfand超幾何函数を n次のHerimite行列に関する積分として拡張した超幾何函数に対して，その満たす微分方程式系を導出した．また，微分方程式を与える微分作用素が生成する微分作用素環のイデアルのGrobner基底を計算しそれらがholonomic系でそのrankが 2^nであることを示した．これらはGauss, Kummer, Bessel, Hemite-Weber,Airy関数の拡張に相当している．(2) n変数Lauricella超幾何函数F_A,F_BについてGelfand超幾何函数の立場から考察しそれらがGr(n+1,2n+2)の余次元 n の同じstratumにおける超幾何函数であることを示し，その隣接関係を与える微分作用素のなすLie環の構造を決定した．さらに隣接関係式を具体的に与える統一的な手法を与えた．

本研究的目标是将 Gel'fand 和申请人作为高斯超几何函数及其合流函数的推广引入的格拉斯曼流形 Gr(2,N) 上的一般超几何函数的积分表示表示为以积分形式展开它，我们阐明了控制这些系统的完整系统与非线性可积系统之间的关系，以及特殊函数的理论将从群论（对称圆锥几何）的角度构建。今年，我们将研究以Hermite矩阵积分的形式扩展Gr(2,4)上一般超几何函数的积分表示所满足的微分方程，研究其完整性，并研究Lauricella超几何函数的邻接关系。得到如下： (1) 我们可以计算Gr(2,4)上任意4的划分的Gelfand超几何函数。我们推导了一个微分方程组，该微分方程组满足在第 n 个 Herimite 矩阵上扩展为积分的超几何函数。我们还计算了由给出微分方程的微分算子生成的理想微分算子代数的格罗布纳基，并表明它们是完整系统，且其秩为2^n。这些对应于高斯、库默、贝塞尔、赫米特-韦伯和艾里函数的扩展。 (2) 从 Gelfand 超几何函数的角度考虑 n 变量 Lauricella 超几何函数 F_A 和 F_B，并证明它们是 Gr(n+1,2n+2) 余维 n 同一层的超几何函数。确定了由给出邻接关系的微分算子形成的李代数的结构。此外，我们还提供了一种统一的方法来具体提供邻接关系表达式。