Geometric and algebraic aspects of Dehn surgery

Dehn 手术的几何和代数方面

基本信息

批准号：
19K03502
负责人：
茂手木公彦
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Nihon University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K03502/
关键词：
Dehn手術基本群共役ねじれ元スロープ予想ストロングスロープ予想本質的曲面結び目交点数結び目群両側不変順序結び目のツイスト族 L-空間結び目タイトファイバード結び目３次元多様体 L-空間群の不変順序

项目摘要

群の自由積や融合積を用いて、より大きな階数をもつ群を構成することができる。従って、共役ねじれ元をもつ既知の３次元多様体の連結和やトーラスでの貼り合わせを行ない、基本群の階数が大きな３次元多様体でねじれ共役元をもつものを構成することができる。一方、基本群の階数が２より大きな３次元双曲多様体で、ねじれ共役元をもつものはこれまでに知られていなかった。一般に基本群が３以上の階数をもっている場合、その群表示から共役ねじれ元を見つけることは非常に困難である。本研究ではDehnフィリングにより共役ねじれ元が発生するメカニズムを利用して、１より大きな任意の整数nに対して、基本群の階数がnで共役ねじれ元をもつような３次元双曲多様体を構成した。さらに、位数２の共役ねじれ元をもつような結び目群を完全に決定することに成功した。これらの結果をまとめた共著論文はともに出版が受理されている。結び目外部空間の本質的曲面はDehn手術の幾何的な側面で重要な役割を担っているが、色付きジョーンズ多項式の最高次数が結び目外部空間の本質的曲面のトポロジーに関する情報をもっているというスロープ予想とストロングスロープ予想が近年盛んに研究されている。本研究ではKenneth Baker氏と高田敏恵氏との共同研究を継続し、Mazurパターンサテライト結び目に対してスロープ予想とストロングスロープ予想を、ある条件のもとで肯定的に解決した。条件を満たさない結び目が存在すれば反例が得られることもわかった。これらの結果を論文として完成させるとともに、色付きジョーンズ多項式の計算を利用してJones直径を決定し、Mazurパターンサテライト結び目の無限族に対して結び目最小交点数を誤差１で決定することに成功した。

可以使用群的自由积和融合积来构造具有较大等级的群。因此，通过对已知的具有共轭扭转元的三维流形进行级联求和或者将它们粘贴到环面中，可以构造具有大阶基本群的扭转共轭元的三维流形。另一方面，迄今为止，还没有知道基本群的秩大于2且具有扭曲共轭元的三维双曲流形。一般来说，当基本群的阶数为3或更高时，从群表示中找到共轭扭曲元素是非常困难的。在本研究中，我们利用Dehn填充生成共轭扭转单元的机制来构造一个三维双曲流形，其基本群的秩为n，并且对于任何大于1的整数n都具有共轭扭转单元。此外，我们成功地完全确定了具有 2 阶共轭扭曲元素的结群。总结这些结果的两篇共同撰写的论文均已被接受发表。结外部空间的本质表面在Dehn运算的几何方面起着重要作用，斜率猜想和彩色琼斯多项式的最高次数的强预测携带了结本质表面的拓扑信息外部空间坡度猜想近年来得到了积极的研究。本研究继续与Kenneth Baker和Toshie Takada共同研究，在一定条件下积极解决了Mazur模式卫星结的斜率猜想和强斜率猜想。还发现，如果存在不满足条件的结，则可以得到反例。除了以论文形式完成这些结果之外，我们还使用彩色琼斯多项式计算确定了琼斯直径，并成功确定了无限系列马祖尔图案卫星结的最小结交点数量，误差为 1。