A Study of Moduli Spaces of Parabolic Connections and Geometric Langlands Correspondence

抛物线连接模空间与几何朗兰兹对应的研究

基本信息

批准号：
19J10022
负责人：
松原祐貴
金额：
$ 1.09万
依托单位：
Kobe University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2021-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では、G = SL_2、LG = PGL_2、C を射影直線P^1 として、5点の確定特異点が存在する場合の幾何学的ラングランズ対応を考察した。この場合、G局所系のモジュライ空間に対応する空間は放物接続のモジュライ空間であり、C上の主LG束のモジュライ空間に対応する空間は放物ベクトル束のモジュライ空間Pである。より具体的に、本研究では、射影直線P^1上に5点の確定特異点が存在する場合の放物接続のモジュライ空間Mの、構造層のコホモロジーを計算した。光明新と齋藤政彦により、放物接続のモジュライ空間が、ある曲面の点のヒルベルトスキームに埋め込まれることが示されている。このMの幾何学的性質により、この問題はある代数曲面のコホモロジーの計算に帰着された。0次コホモロジーについて、これまで使用していた論法に誤りが見つかった。そのため改めて、対応する代数曲面を見出し、その構造層の0次コホモロジーを計算した。高次コホモロジーについて、Mは稠密な開集合M0と余次元が2である部分空間M1との階層構造を持つ。このM1はアフィン空間と同型であることが知られているが、局所コホモロジーの一般論を用いて計算すると、M1上の構造層に関する2次局所コホモロジーが消えないということが分かった。また、M0上の構造層のコホモロジーは2次以上のものが消滅することを計算で示した。これらのことから、局所コホモロジーを含んだ長完全系列に着目することにより、M0上の構造層の1次コホモロジーと、M1上の構造層に関する2次局所コホモロジーが連結準同型を介して同型であれば、Mの高次のコホモロジーがすべて消滅する、という目的の結果が得られることが分かった。

在本研究中，我们考虑了存在 5 个确定奇点的情况下的几何朗兰兹对应，其中 G = SL_2，LG = PGL_2，C 为射影线 P^1。此时，G局部系统的模空间对应的空间是抛物线连接的模空间，C上主LG丛的模空间对应的空间是抛物线向量丛的模空间P。更具体地说，在本研究中，我们计算了当投影线 P^1 上有五个确定的奇点时，抛物线连通模空间 M 的结构层的上同调。 Arata Komei 和 Masahiko Saito 证明了抛物线连接的模空间可以嵌入到曲面上点的希尔伯特方案中。由于 M 的几何特性，这个问题被简化为计算代数曲面的上同调。关于零阶上同调，目前使用的推理中发现了一个错误。因此，我们找到了相应的代数面并计算了其结构层的零阶上同调。对于高阶上同调，M 具有由稠密开集 M0 和余维数为 2 的子空间 M1 组成的层次结构。已知该M1与仿射空间同构，但是当使用局部上同调的一般理论计算时，发现关于M1上的结构层的二阶局部上同调并没有消失。此外，计算表明M0上结构层的上同调在高于二阶的阶数处消失。从这些事实出发，通过关注包含局部上同调的长完整序列，我们可以通过连通同态来判断M0上结构层的一阶上同调和M1上结构层的二阶局部上同调是否同构。事实证明，我们可以得到期望的结果：M的所有高阶上同调都消失了。