Studies on integral representations of GKZ hypergeometric functions

GKZ超几何函数的积分表示研究

基本信息

批准号：
19J00071
负责人：
松原宰栄
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Kobe University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究はGKZ超幾何函数と呼ばれる特殊函数の積分表示の理論を研究して、大域解析及び漸近解析を完成することを目標とする。本年度は主に（コ）ホモロジー交叉数の研究とGKZ系の大域解析について進展が得られた。1.Euler-Laplace積分表示と交点理論：現在までに、Euler-Laplace型積分表示に付随する急減少ホモロジー群の基底を、収束三角形分割Tから組み合わせ的に構成する方法を確立した。(a)小樽商大の後藤良彰氏との共同研究により、Tの単模性を仮定せずにEuler型積分表示のホモロジー交叉数を完全に決定した。応用として種々のGKZ超幾何函数の二次関係式を得た。(b)急減少ホモロジー群の交叉理論を一般に定式化し、Tが単模の場合にEuler-Laplace型積分表示のホモロジー交叉数を決定した。応用として木村-原岡-高野の多変数超幾何函数の二次関係式を得た。(c)上記の研究の応用として、パラメーターが実の場合のGKZ系はモノドロミー不変エルミート形式を持ち、その符号数が正則三角形分割の組み合わせ論から記述できること（F.Beukers氏による予想）を示した。2.モノドロミー不変部分空間の無限階差分作用素による記述：M.-C. Fernandez-Fernandez氏のアイデアに基づき、不確定特異点型GKZ系のモノドロミー表現を、パラメーターに対する仮定の下で既約分解する方法を与えた。3.三角形分割の合流：特殊函数論における標準的操作である、合流操作をGKZ系の文脈で定義した。さらに付随する二次扇、正則三角形分割の合流も定式化し、いくつかの計算例をも得た。

本研究的目的是研究GKZ超几何函数这一特殊函数的积分表示理论，并完成全局分析和渐近分析。今年主要在同源交叉数研究和GKZ系统全局分析方面取得了进展。 1.Euler-Laplace积分表示和交集理论：迄今为止，我们已经建立了一种组合构造与来自收敛三角剖分T的Euler-Laplace积分表示相关的快速递减同调群的基础的方法。 (a) 通过与小樽商科大学的 Yoshiaki Goto 先生的联合研究，我们完全确定了欧拉型积分表示的同源交叉数，而无需假设 T 的单峰性。作为应用，我们得到了各种GKZ超几何函数的二次关系。 (b)一般地建立了快速递减同调群的交叉理论，并确定了当T很简单时欧拉-拉普拉斯型积分表示的同调交叉数。作为应用，我们得到了Kimura-Haraoka-Takano多元超几何函数的二次关系。 (c) 作为上述研究的应用，我们证明了当参数为实数时，GKZ 系统具有单向不变埃尔米特形式，并且其符号数可以用正则三角剖分的组合学来描述（F.博伊克斯）。 2.使用无限阶差分算子描述单向不变子空间：基于M.-C.Fernandez-Fernandez的思想，我们在参数假设下分解了不确定奇点型GKZ系统的单向表示。给了一个方法。 3.三角剖分的合并：我们在GKZ系统的背景下定义了合并运算，这是特殊函数理论中的标准运算。此外，我们还给出了伴随的二次扇形与正则三角剖分的汇合，并得到了一些计算实例。